《（全国版）2018版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.8 函数与方程课件(理)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国版）2018版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.8 函数与方程课件(理)（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节 函数与方程,【知识梳理】 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x),把使_的实数x叫做函数y=f(x) 的零点.,f(x)=0,(2)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是_的 一条曲线,并且有_,那么,函数y=f(x)在 区间_内有零点,即存在c(a,b),使得_, 这个c也就是方程f(x)=0的根.,连续不断,f(a)f(b)0,(a,b),f(c)=0,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),2,1,0,【特别提醒】 1.有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数
2、f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.,(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. 2.三个等价关系 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P88例1改编)函数 的零点个数 为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解析】选B.函数f(x)= 的零点个数是方程 =0的解的个数,即方程 的解的个数,也 就是函数y= 与y= 的图象的交点个数.在同一坐 标系中作出两个函数的图象,可得交点个数为1.,感
3、悟考题 试一试 2.(2015安徽高考)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.y=x2+1,【解题提示】根据偶函数的定义域关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称及函数零点的定义进行判断.,【解析】选A.,3.(2016保定模拟)若函数f(x)=x2-2mx+m2-1在区间0,1上恰有一个零点,则m的取值范围为 ( ) A.-1,01,2 B.-2,-10,1 C.-1,1 D.-2,2,【解析】选A.令f(x)=x2-2mx+m2-1=0,可得x1=m-1, x2=m+1, 因为函数f(x)=x2-2mx+m2-1在区间0,1上恰
4、有一个零点, 所以0m-11或0m+11. 所以1m2或-1m0.,4.(2016商丘模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为 .,【解析】令x0, 所以f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x. 因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x). 所以当x0时,f(x)=-x2-3x. 所以当x0时,g(x)=x2-4x+3.,令g(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3. 当x0(舍去)或x=-2- . 所以函数g(x)有三个零点,故其集合为-2- ,1,3. 答案:-2- ,1,
5、3,考向一 确定函数零点所在区间 【典例1】(1)方程log3x+x=3的根所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),(2)(2016宿州模拟)设函数y=x3与y= 的图象的 交点为(x0,y0),若x0(n,n+1),nN,则x0所在的区间 是 .,【解题导引】(1)利用零点存在性定理进行判断. (2)分别画出函数y=x3与y= 的图象,利用函数零点存在性定理进行判断.,【规范解答】(1)选C.方程log3x+x=3的根即是函数f(x)=log3x+x-3的零点,由于f(2)=log32+2-3=log32-10且函数f(x)在(0,+)上为单调增函
6、数.所以函数f(x)的零点即方程log3x+x=3的根,所在区间为(2,3).,【一题多解】解答本题还有以下方法: 选C.方程log3x+x=3的根所在区间即是函数y1=log3x与y2=3-x交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示. 由图知方程log3x+x=3的根所 在区间为(2,3).,(2)设f(x)=x3- ,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y= 的图象如图所示. 因为f(1)=1- =-10, 所以f(1)f(2)0,所以x0(1,2). 答案:(1,2),【规律方法】确定函数零点所在区间的方法 (1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,
7、然后再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b) 0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.,(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,【变式训练】(2016九江模拟)函数f(x)=x+ log2x的零点所在区间为 ( ),【解析】选A.因为 所以 故函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为,【加固训练】 1.已知函数f(x)= -log2x,在下列区间中,包含f(x) 零点的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4)
8、D.(4,+),【解析】选C.由题意知,函数f(x)在(0,+)上为减函 数,又f(1)=6-0=60,f(2)=3-1=20, 由零点存在性定理,可知函数f(x)在区 间(2,4)上必存在零点.,2.函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4),【解析】选B.因为f(x)在(0,+)上为单调增函数,且f(1)=ln2-20,所以函数的零点所在的大致区间是(1,2).,3.下列函数中在1,2内有零点的是 ( ) A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5 C.f(x)=ln x-3x-6 D.f
9、(x)=ex+3x-6 【解析】选D.f(x)=ex+3x-6,f(1)=e-30,函数在1,2内至少有一个零点.,4.(2016河南十所名校联考)设函数f(x)= x-ln x, 则函数y=f(x) ( ) A.在区间 ,(1,e)内均有零点 B.在区间 ,(1,e)内均无零点 C.在区间内有零点 ,在区间(1,e)内无零点 D.在区间内无零点 ,在区间(1,e)内有零点,【解析】选D.方法一:当x 时,函数图象是连续 的,且 所以函数f(x)在 上单调递减. 又 f(e)= e-lne0, 所以函数有唯一的零点在区间(1,e)内.,方法二:令f(x)=0得 x=lnx.作出函数y= x和y
10、=lnx的 图象,如图,显然y=f(x)在 内无零点,在(1,e)内有 零点.,5.(2016温州模拟)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区间是 ( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3),【解析】选B.由图象知 得10, 所以g(0)g(1)0,所以g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区间是(0,1).,考向二 函数零点的个数 【典例2】(1)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x-1,1时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是 ( ) A.9 B.1
11、0 C.11 D.18,(2)(2016秦皇岛模拟)函数f(x)= 的零点个数是 .,【解题导引】(1)函数F(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lgx|图象交点的个数,作出函数图象,结合图象确定零点的个数. (2)画出函数的图象,结合图象确定零点的个数.,【规范解答】(1)选B.由F(x)=0得f(x)=|lgx|,所以函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lgx|图象交点的个数.作出函数图象,如图所示:,当010时,|lgx|1,所以此时函数y=f(x)与y=|lgx|图象无交点.故函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是10.,(2)当x0
12、时,作函数y=lnx和y=x2-2x的图象, 由图知,当x0时,f(x)有2个零点; 当x0时,由f(x)=0得x=- , 综上,f(x)有3个零点. 答案:3,【易错警示】解决本例(1)会出现如下错误: (1)不能将问题转化为两个函数的交点问题. (2)函数图象不准确导致失误.,【母题变式】1.本例(2)中的函数变为f(x)=|x2-2x|-a2-1(aR+),则零点的个数如何?,【解析】因为aR+,所以a2+11. 而y=|x2-2x|的图象如图, 所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.所以函数f(x)有2个零点.,2.若本例(2)函数变为“已知f(x)是定义域为R
13、的奇函数,且在(0,+)内的零点有1003个”,则f(x)的零点的个数有多少个? 【解析】因为f(x)为奇函数,且在(0,+)内有1003个零点,所以在(-,0)上也有1003个零点,又因为f(0)=0,所以共有2006+1=2007个零点.,【规律方法】判断函数零点个数的方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.,(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.,(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的
14、交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.,【变式训练】(2015湖北高考)函数f(x)= 4cos2 cos( -x)-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数 为 .,【解析】函数f(x)= -2sinx-|ln(x+1)| 的零点个数等价于方程 的根的个数,即函数g(x)= -2sinx=sin2x 与h(x)=|ln(x+1)|的图象交点个数.分别画出其函数图,象的草图如图所示,由图可知,函数g(x)与h(x)的图象有2个交点. 答案:2,【加固训练】1.函数f(x)=2x+x3-2在区间 (0,1)内的零点个数是 ( )
15、A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.因为f(x)=2xln2+3x20,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-10,所以有1个零点.,2.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,1时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是 ( ) A.多于4个 B.4个 C.3个 D.2个,【解析】选B.由题意知,f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如图:,观察图象可以发现它们有4个交点, 即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.,3.(2016合肥模拟)若偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1), 且在x0,1时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)= 上的根的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选C.因为f(x)为偶函数,所以当x-1,0时,-x0,1,所以f(-x)=x2,即f(x)=x2. 又f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=f(x+1)+1)=f(x+1)- 1)=f(x),故f(x)是以2为周期的周期函数,据此在同一 坐标系中作出函数y=f(x)与y= 上的图象 如图所示,数
