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1、第一章 集合与函数概念,章末复习提升,知识网络 整体构建,要点归纳 主干梳理,题型探究 重点突破,栏目索引,知识网络 整体构建,返回,要点归纳 主干梳理,知识点一 集合的含义与表示 (1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集.其中每个对象叫做元素.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)集合常用的表示方法有：列举法、描述法.它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法.,知识点二 元素与集合、集合与集合之间的关系 元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素a要么是给定集合A中的元素(aA)，要么不是(aA)，不能模棱两可.对于两个集合A，B
2、，可分成两类AB，AB，其中AB又可分为AB与AB两种情况，在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一个特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形. 知识点三 集合与集合之间的运算 并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具.注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如ABABAABB.,知识点四 映射与函数的概念 已知A，B是两个非空集合，在对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：AB.由定义可知在A中的任意一个元
3、素在B中都能找到唯一的像，而B中的元素在A中未必有原像.若f：AB是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个原像，则这样的映射叫做从A到B的一一映射.函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A，B都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数.,知识点五 函数的单调性 1.函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键. 2.函数单调性的证明 根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下： (1)取值：任取x1，
4、x2D，且x10； (2)作差变形：yy2y1f(x2)f(x1)，向有利于判断差的符号的方向变形； (3)判断符号：确定y的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； (4)下结论：根据定义得出结论.,返回,知识点六 函数的奇偶性 判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提.,题型探究 重点突破,题型一 集合的运算 集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含
5、关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对的讨论，不要遗漏.,解析答案,例1 已知集合Ax|0x2，Bx|axa3. (1)若(RA)BR，求a的取值范围； 解 Ax|0x2， RAx|x2. (RA)BR.,解析答案,(2)是否存在a，使(RA)BR且AB？ 解 由(1)知(RA)BR时， 1a0，而a32,3， AB，这与AB矛盾.即这样的a不存在.,解析答案,跟踪训练1 (1)已知集合U2,3,6,8，A2,3，B2,6,8，则(UA)B_. (2)已知集合AxR|x|2，BxR|x1，则AB等于( ) A.(，2 B.1,2 C.2,2 D.2,1 解
6、析 (1)U2,3,6,8，A2,3，UA6,8. (UA)B6,82,6,86,8. (2)AxR|x|2xR|2x2， ABxR|2x2xR|x1 xR|2x1.,6,8,D,题型二 函数的概念与性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合.,(1)求实数m和n的值； 解 f(x)是奇函数， f(x)f(x)，,解析答案,比较得nn，n0.,实数m和n的值分别是2和0.,(2)求函数f(x)在区间2，1上的最值.,解析答案,任取x1，x2
7、2，1，且x1x2，,2x1x21， x1x20，x1x21，x1x210， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2). 函数f(x)在2，1上为增函数，,跟踪训练2 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)f(x)，f(x)在(，0)上单调递增，且f(2a2a1)f(2a24a3)，求a的取值范围. 解 f(x)是定义在R上的函数，且f(x)f(x)，f(x)为偶函数. 又f(x)在(，0)上单调递增， f(x)在(0，)上单调递减.,解析答案,由f(2a2a1)f(2a24a3)知，,题型三 函数图象及其应用 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够
8、掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点. 例3 对于函数f(x)x22|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； 解 函数的定义域为R，关于原点对称，f(x)(x)22|x|x22|x|. 则f(x)f(x)，f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称.,解析答案,解析答案,(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.,画出图象如图所示， 根据图象知，函数f(x)的最小值是1. 单调增区间是1,0，1，)； 单调减区间是(，1，0,1.,解析答案,如图，分别画出三个函数的
9、图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8). 从图象观察可得函数f(x)的表达式：,f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.,答案 2,题型四 抽象函数问题 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题.因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开.抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图象的对称性，或是求函数值、解析式等.主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题.,解析答案,例4 函
10、数f(x)对一切实数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，试判断函数f(x)的单调性，并说明理由.,解析答案,解 方法一 设任意的x1，x2R，且x10.由条件x0时，f(x)0， f(x2x1)0. 又f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)x1) f(x1)f(x2x1)f(x1) f(x2x1)0， f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)， 函数f(x)为R上的增函数.,方法二 设x1R，令x2x1a(a0)， 则x10时，f(a)0，f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)， 函数f(x)为R上的增函数.,解析答案,跟踪训练4 已知函数f
11、(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0. 求证：(1)f(x)是偶函数； 证明 令x1x21，得f(1)2f(1)， f(1)0. 令x1x21，得f(1)f(1)(1) f(1)f(1)， f(1)0. f(x)f(1)xf(1)f(x)f(x). f(x)是偶函数.,解析答案,(2)f(x)在(0，)上是单调递增的. 证明 设0x1x2，,x2x10，,f(x2)f(x1). f(x)在(0，)上是单调递增的.,解析答案,分类讨论思想的实质：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有
12、字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题，函数性质中求参数的取值范围问题等. 例5 设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值.,分类讨论思想,解题思想方法,解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，对称轴为x1. 当t11时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.,跟踪训练5 已知集合Ax|x23x20，Bx|ax20，且ABA，求实数a组成的集合C. 解 ABA，BA. (1)当B时，由x23x20，得x1或2.当x1时，a2；当x2时，a1. (2)当B时，即当a0时，B，符合题意. 故实数a组成的集合C0,1,2.,解析答案,返回,
