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1、2. 函数与导数,第四篇 回归教材，纠错例析，帮你减少高考失分点,栏目索引,要点回扣,(1,1)(1，),答案,2.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.,解析,解析 要使函数f(x)的值域为R，,3.求函数最值(值域)常用的方法 (1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数. (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数. (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数. (4)导数法：适合于可导函数. (5)换元法(特别注意新元的范围). (6)分离常数法：适合于一次分式.,解析答案,4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须
2、关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.,得定义域为(1,0)(0,1)，,奇,解析答案,f(x)f(x)，f(x)为奇函数,5.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. (2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|). (3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)0. “f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件.,A.(，)上的减函数 B.(，)上的增函数 C.(1,1)上的减函数 D.(1,1)上的增函数,解析,解析 由题意
3、可知f(0)0，即lg(2a)0， 解得a1，,函数y1lg(1x)是增函数，函数y2lg(1x)是减函数， 故f(x)y1y2是增函数.选D.,6.判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察. (2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问题. (3)对于解析式较复杂的，一般用导数. (4)对于抽象函数，一般用定义法.,问题6 函数y|log2|x1|的递增区间是_.,作图可知正确答案为0,1)，2，).,0,1)，2，),解析答案,1,答案,8.函数图象的几种常见变换 (1)平移变换：左右平移“左加右减”(注意是针对x而言)；上
4、下平移“上加下减”. (2)翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|). (3)对称变换：证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上； 函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称； 函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0 (y轴)对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称.,(1,3),答案,9.如何求方程根的个数或范围 求f(x)g(x)根的个数时，可在同一坐标系中作出函数yf(x)和yg(x)的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理.,解析,解析 f(1)ln 220
5、， f(x)的零点在区间(1,2)内.,10.二次函数问题 (1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系. (2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形. 问题10 若关于x的方程ax2x10至少有一个正根，则a的取值范 围为_.,答案,11.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)确定函数yf(x)的定义域. (2)求导数yf(x). (3)解方程f(x)0在定义域内的所有实根. (4)将函数yf(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序
6、排列起来，分成若干个小区间. (5)确定f(x)在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性. 特别提醒：(1)多个单调区间不能用“”连接； (2)f(x)为减函数时f(x)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0.,问题11 函数f(x)ax32x2x1在R上是增函数，则a的取值范围是_.,解析 f(x)ax32x2x1的导数 f(x)3ax24x1.,解析答案,x1,答案,13.利用导数解决不等式问题的思想 (1)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数h(x)f(x)g(x)，再证明h(x)max0. (2)不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值.,返回,解析答案,易错
7、点1 忽视函数的定义域,例1 函数y (x25x6)的单调递增区间为_.,易错警示,易错分析 忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x25x60.,易错分析,解析 由x25x60知x|x3或x2.令ux25x6， 则ux25x6在(，2)上是减函数， y (x25x6)的单调增区间为(，2).,(，2),解析答案,易错分析 解函数有关的不等式，除考虑单调性、奇偶性，还要把定义域放在首位.,解析答案,易错分析,例2 已知奇函数f(x)是定义在(3,3)上的减函数，且满足不等式f(x3)f(x23)0，求x的取值范围.,又f(x)是奇函数，f(x3)3x2，即x2x60，解得x2或x3.,易错点2 分段
8、函数意义不清,易错分析 只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求.,解析,易错分析,答案,若函数在R上单调递增，,易错点3 函数零点求解讨论不全面,例4 函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是( ) A.(，1 B.(，01 C.(，0)1 D.(，1),易错分析 解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m0的讨论，就会错选C.,解析,易错分析,易错点4 混淆“在点”和“过点”致误,例5 曲线f(x)x33x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程.,易错分析 “在点”处的切线，说明点在曲线
9、上，且点是切点.“过点”的切线，说明切线经过点：当这个点不在曲线上时，一定不是切点；当这个点在曲线上时，也未必是切点.,解析答案,易错分析,所以切线方程为y9x16.,易错点5 极值点条件不清,例6 已知f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则ab_.,易错分析 把f(x0)0作为x0为极值点的充要条件，没有对a，b值进行验证，导致增解.,解析,易错分析,答案,7,当a4，b11时，f(x)3x28x11(3x11)(x1). 在x1两侧的符号相反，符合题意. 当a3，b3时，f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同， 所以a3，b3不符合题意，舍去. 综上可知，a4，b11，ab7
10、.,易错点6 函数单调性与导数关系理解不准确,例7 函数f(x)ax3x2x5在R上是增函数，则a的取值范围是 _.,易错分析 误认为f(x)0恒成立是f(x)在R上是增函数的必要条件，漏掉f(x)0的情况.,易错分析,解析答案,返回,1,2,3,4,查缺补漏,解析,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 f(x)周期为4，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.下列各式中错误的是( ) A.0.830.73 B.log0.50.4log0.50.6 C.0.750.1lg 1.4,解析 构造相应函数，再
11、利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数yx3，为增函数，故A正确； 对于B、D，构造对数函数ylog0.5x为减函数，ylg x为增函数，B、D都正确； 对于C，构造指数函数y0.75x，为减函数，故C错.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,5,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以g(x)的零点跟xg(x)的非零零点是完全一样的， 故我们考虑xg(x)xf(x)1的零点，,解析,当x0时，(xg(x)(xf(x)xf(x)f(x),在(0，)上，函数xg(x)单调递增.,1,2,3,4
12、,5,6,7,8,9,10,11,12,又f(x)在R上可导，当x(0，)时，函数xg(x)xf(x)11恒成立， 因此，在(0，)上，函数xg(x)xf(x)1没有零点.,故函数xg(x)在(，0)上是递减函数，函数xg(x)xf(x)11恒成立， 故函数xg(x)在(，0)上无零点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是_.,解析 因为f(x)是偶函数， 所以f(x)f(x)f(|x|). 因为f(x)0，f(2)0.所以f(|x|)f(2). 又因为f(x)在(，0
13、上是减函数， 所以f(x)在(0，)上是增函数， 所以|x|2，所以2x2.,(2,2),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.若函数f(x)ln(x2ax1)是偶函数，则实数a的值为_.,解析 由题意知，f(x)ln(x2ax1)为偶函数， 即ln(x2ax1)ln(x2ax1)，即x2ax1x2ax1，显然a0.,0,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.定义域为R的函数f(x)满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1时，f(x)x2x，则当x(1,0时，f(x)的值域为_.,解析 若x(1,0，则x1(0,1， 所以f(x1)(
14、x1)2(x1)x2x. 又f(x1)2f(x)，,当x0时，f(x)max0.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 因为f(x1)是偶函数， 所以f(x1)f(x1)， 所以yf(x)关于x1对称. 又10， 知yf(x)在1，)上是增函数，,bac,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又f(x)x22x3，所以f(2)5.,解析答案,即15x3y250. 所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为15x3y250.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)若f(x)在区间(2,3)上是减函数，求m的取值范围.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解 因为f(x)x22mx3m2，令f(x)0，得x3m或xm. 当m0时，f(x)x20恒成立，不符合题意.,当m0时，f(x)的单调递减区间是(m，3m)， 若f(x)在区间(2,3)上是减函数，,综上所述，实数m的取值范围是(，23，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(1)当m1时，判断方程f(x)g(x)在区间(1，)上有无实根；,解析答案,h(x)在(0，)上为增函数，又h(1)0， f(x)
