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1、第三章 空间向量与立体几何,本章小结,知识网络建构,热点专题剖析,一、空间向量的线性运算 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求,【评析】 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键 二、空间向量与线面位置关系 证明平行问题，除了应用传统的线面平行的判定定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量进行证明,证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还可利用
2、向量数量积进行判断，是非常有效的方法,【例2】 如图2，在矩形ABCD中AB2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP平面ABCD. (1)求证：AQ平面CEP； (2)求证：平面AEQ平面DEP.,【分析】 证明线面平行问题，可以利用与平面内的直线平行进行判定，也可以利用直线与平面的法向量垂直，也可用传统方法求证面面垂直可以利用面面垂直的判定定理求证，也可用向量法求证同时，也可用两平面的法向量垂直求证,【证法一】 (1)EP矩形ABCD所在的平面，且P、Q均为AB，DC的中点，PQAB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE分别为x轴，y轴，z轴建系如右图3. 令AB2，PEa，则 A(1
3、,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0，a)， C(1,1,0),即AQPD，AQPE， AQ面EPD，AQ面AEQ， 面AEQ面DEP.,【证法二】 传统法 (1)在矩形ABCD中， APPB，DQQC，AP綊QC， 四边形AQCP为平行四边形， CPAQ. CP平面CEP， AQ平面CEP，AQ平面CEP.,(2)EP平面ABCD，AQ平面ABCD， AQEP. AB2BC，P为AB中点， APAD. 连结PQ，则ADQP为正方形， AQDP. EPDPP，AQ平面DEP. AQ面AEQ，面AEQ面DEP.,三、空间向量与空间角 1纵观近几年高考发现，对于空间角的考查，每年都有不论在选择
4、，还是填空中均有考查，而解答题中更是考查重点，因此空间角必是高考的一个生长点 2.对于空间角中线线角、线面角及二面角，一是利用传统解法，如平移法，利用定义求解等，但向量法求解更能体现解题的优越性,【例3】 如图4所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD8，AA14，M为B1C1上一点且B1M2，点N在线段A1D上，A1DAN.,【解】 (1)建立空间直角坐标系(如图5),【例4】 如图6，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1. (1)求证：ABBC； (2)若直线AC与平面A1BC所成的角为，二面角A1BCA的大小为，试判断与的 大小关系，并予以证明,【解
5、】 (1)证明：如图6，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1A1B，得AD平面A1BC.又BC平面A1BC，ADBC. 三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，AA1BC. 又AA1ADA，从而BC侧面A1ABB1.又AB侧面A1ABB1，故ABBC.,(2)解：由(1)知，以点B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图7所示的空间直角坐标系，,【评析】 要建立空间直角坐标系，先要有三条互相垂直且交于一点的直线 四、空间向量与空间距离 空间距离在高考中考查较多的是两点距和点
6、面距两点距主要利用向量的模即两点间的距离公式求解点面距利用平面的法向量代入公式求解有了向量，距离的求法也都公式化了,【例5】 在长方体OABCO1A1B1C1中，|OA|2，|AB|3，|AA1|2，E是BC的中点 (1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值 (2)作O1DAC于D，求点O1到点D的距离,【解】 (1)以O为原点，分别以、为x轴、y轴、z轴的正方向，如图8建立空间直角坐标系 |OA|2，|AB|3. |AA1|2，E是BC的中点 A(2,0,0)，O1(0,0,2)， B1(2,3,2)，E(1,3,0)，,五、利用空间解决探索存在性问题 存在性问题要在一定条件下论证会不会出现某
7、个结论这 类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性,【例6】 如图9所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF，若存在，求出AF，若不存在，说明理由,【分析】 假设存在点F，由线面垂直转化为线线垂直，探求点F的位置,【解】 (1)以B为坐标原点，建立如图10所示的空间直角坐标系Bxyz. 假设存在F点，使CF平面B1DF.不妨设AFb.,
