《（全国版）2018版高考数学一轮复习 不等式选讲 1 绝对值不等式课件(理) 选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国版）2018版高考数学一轮复习 不等式选讲 1 绝对值不等式课件(理) 选修4-5（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式,【知识梳理】 1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当 _时,等号成立. 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|, 当且仅当_时,等号成立.,ab0,(a-b)(b-c)0,2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集:,x|-axa,x|xa或x-a,x|xR且x0,R,(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c_; |ax+b|c_.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x
2、-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.,方法二:利用“零点分区法”求解,体现了分类讨论的思想. 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.,【特别提醒】 1.应用“零点分区法”的注意点 令每个绝对值符号里的代数式等于零,求出相应的根,要把这些根按由小到大进行排序,在各个区间上解不等式时,端点值要不重不漏.,2.从解集理解不等式恒成立问题 不等式的解集为R说明不等式恒成立,不等式的解集为,说明其对立面恒成立.,考向一 绝对值不等式的解法 【典例1】(2015全国卷)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a
3、|,a0. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集. (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.,【解题导引】(1)当a=1时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求. (2)化简函数f(x)的解析式,求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得f(x)的图象与x轴围成的三角形面积;再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,从而求得a的取值范围.,【规范解答】(1)当a=1时,不等式f(x)1, 即|x+1|-2|x-1|1, 即 或 或 解求得无解,解求得 x1,解求得1x2. 综上
4、可得,原不等式的解集为,(2)函数f(x)=|x+1|-2|x-a| = 由此求得f(x)的图象与x轴的交点A , B(2a+1,0),故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1), 由ABC的面积大于6, 可得 (a+1)6,求得a2. 故要求的a的范围为(2,+).,【规律方法】 形如|x-a|+|x-b|c(或c)型的不等式主要有三种解法 (1)零点分区法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(-,a,(a,b,(b,+)(此处设ab)三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集.,(2)几何法:利用|x-a|+|x-b|
5、c(c0)的几何意义:数 轴上到点x1=a和x2=b的距离之和大于c的全体,|x-a|+ |x-b|x-a-(x-b)|=|a-b|. (3)图象法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象, 结合图象求解.,易错提醒:易出现解集不全的错误.对于含绝对值的不等式,不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不漏.,【变式训练】(2016郑州模拟)已知函数f(x)=|2x+1| +|2x-3|. (1)求不等式f(x)6的解集. (2)若关于x的不等式f(x)|a-1|的解集非空,求实数a 的取值范围.,【解析】(1)原不等式等价于 或 或 解之得 x2或- x 或-1x- . 即
6、不等式的解集为x|-1x2.,(2)因为f(x)=|2x+1|+|2x-3|(2x+1)-(2x-3)|=4,所以|a-1|4,解此不等式得a5.,【加固训练】 1.(2016阳泉模拟)解不等式|2x+1|-|x-4|0. 【解析】令f(x)=|2x+1|-|x-4|,当x4时,f(x)=2x+1 -(x-4)=x+50得x-5,所以x4时,不等式成立. 当- x0,得x1,所以,1x4时,不等式成立.,当x0,得x-5,所以,x-5时, 不等式成立. 综上,原不等式的解集为x|x1或x-5.,2.已知集合A=xR|x+3|+|x-4|11, B= ,求集合AB. 【解析】若x-3, |x+3
7、|+|x-4|11-x-3-x+411 -5x-3,若-3x4, |x+3|+|x-4|11x+3-x+411-3x4, 若x4, |x+3|+|x-4|11x+3+x-411 4x6, 所以A=-5,6,又因为t0,所以4t+ =4,当且仅当4t= , 即t= 时,等号成立, 所以B=4,+), 所以AB=4,6.,考向二 绝对值三角不等式的应用 【典例2】设不等式|x-2|a(aN*)的解集为A, 且 A, A. (1)求a的值. (2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.,【解题导引】(1)由 A, A知 满足不等式, 不满足不等式. (2)利用绝对值三角不等式求解.,【规范
8、解答】 (1)因为 A,且 A, 所以 a,且 a, 解得 a ,又因为aN*,所以a=1.,(2)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3. 当且仅当(x+1)(x-2)0即-1x2时取到等号,所以f(x)的最小值为3.,【母题变式】 1.若本例第(2)问中函数改为f(x)=|x-1|+|x-4|,求其最小值. 【解析】f(x)=|x-1|+|x-4|(x-1)-(x-4)|=3,所以,其最小值为3.,2.本例条件不变,求函数f(x)=|x+a|-|x-2|的最大值. 【解析】因为|x+a|-|x-2|=|x+1|-|x-2|(x+1)- (x-2)|=3, 当且仅当(x+1)
9、(x-2)0,即-1x2时取到等号,所以f(x)的最大值为3.,【规律方法】对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点 (1)等号成立的条件在解题时经常用到,特别是用此定理求函数的最大(小)值时.,(2)该定理可以推广为|a+b+c|a|+|b|+|c|,也可强 化为|a|-|b|ab|a|+|b|,它们经常用于含绝 对值的不等式的推证. (3)当ab0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab0时,|a-b| =|a|+|b|;当b(a+b)0时,|a|-|b|=|a+b|;当b(a-b) 0时,|a|-|b|=|a-b|.,【变式训练】(2016大同模拟)已知a和b是任意非 零实数. (1)求
10、的最小值. (2)若不等式|2a+b|+|2a-b|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数x的取值范围.,【解析】(1)因为 所以 的最小值为4.,(2)因为|2a+b|+|2a-b|2a+b+2a-b|=4|a|,不等式|2a+b|+|2a-b|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立, 所以4|a|a|(|2+x|+|2-x|),即|2+x|+|2-x|4. 而|2+x|+|2-x|表示数轴上的x对应点到-2,2对应点的距离之和,它的最小值为4.,故|2+x|+|2-x|=4,所以-2x2. 即实数x的取值范围为-2x2.,【加固训练】 1.(2016西工大附中模拟)已知函数f(x)=|
11、x-2|- |x-5|. (1)证明:-3f(x)3. (2)求不等式:f(x)x2-8x+14的解集.,【解析】(1)|f(x)|=|x-2|-|x-5|(x-2)- (x-5)|=3, 所以-3f(x)3. (2)当x2时,f(x)=-3,而x2-8x+14=(x-4)2-2-2, 所以f(x)x2-8x+14无解,当2x5时,f(x)=2x-7,原不等式等价于: 3x5 当x5时,f(x)=3,原不等式等价于: 5x4+ 综上,不等式的解集为3,4+ .,2.设函数f(x)= (1)当a=5时,求函数f(x)的定义域. (2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.,【解析】(1)
12、当a=5时,f(x)= 由|x+1|+|x+2|-50, 得 或 或 解得x1或x-4. 即函数f(x)的定义域为x|x1或x-4.,(2)由题可知|x+1|+|x+2|-a0恒成立,即a|x+1| +|x+2|恒成立,而|x+1|+|x+2|(x+1)-(x+2)|=1,所以a1,即a的取值范围为(-,1.,考向三 与绝对值不等式有关的参数范围问题 【典例3】(2014全国卷)设函数f(x)= +|x-a|(a0). (1)证明:f(x)2. (2)若f(3)5,求a的取值范围.,【解题导引】 (1)利用绝对值不等式和基本不等式的性质证明. (2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a的取值范
13、围.,【规范解答】(1)由a0,有f(x)= +|x-a| +a2.所以f(x)2. (2)f(3)= +|3-a|. 当a3时,f(3)=a+ ,由f(3)5,得3a . 当0a3时,f(3)=6-a+ ,由f(3)5,得 a3. 综上,a的取值范围是,【规律方法】 1.解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法 (1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决. (2)借助于绝对值的几何意义,先求出相应式的最值或值域,然后再根据题目要求,求解参数的取值范围.,2.不等式恒成立问题的常见类型及其解法 (1)分离参数法 运用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数
14、范围问题.,(2)更换主元法 不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.,(3)数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观解决问题.,提醒:不等式的解集为R是指不等式恒成立问题,而不 等式的解集为的对立面也是不等式恒成立问题,如f(x)m的解集为,则f(x)m恒成立.,【变式训练】(2015重庆高考改编题)若函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,求实数a的值. 【解析】由题意知a-1(因为此时函数的最小值为0). 当a-1
15、时,f(x)=|x+1|+2|x-a|= 此时函数的最小值为f(a)=-a-1=5,解得a=-6,当a-1时,f(x)=|x+1|+2|x-a| = 此时函数的最小值为 f(a)=a+1=5,解得a=4, 综上可知a=4或a=-6.,【加固训练】 1.(2014安徽高考改编)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,求实数a的值.,【解析】(1)当a2时, f(x)=,(2)当a2时, f(x)=,(3)当a=2时,f(x)=3|x+1|, 由(1)(2)(3)可得f(x)min= =3, 解得a=-4或8.,2.(2014 湖南高考改编题)若关于x的不等式|ax-2| 3的解集为 ，求a的值. 【解析】由|ax-2|3得到-3ax-23，-1ax5， 又知道解集为 ，所以a=-3.,
