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1、2.3 双 曲 线 2.3.1 双曲线及其标准方程,一、双曲线的定义,差的绝对值,小于,定,点F1,F2,两焦点间,思考:在双曲线的定义中,若去掉“绝对值”,其轨迹还是双曲线吗? 提示:不是.其轨迹是双曲线的一支.,二、双曲线的标准方程,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),a2+b2,判断:(正确的打“”,错误的打“”) (1)在双曲线标准方程 中,规定a0,b0时ab.( ) (2)双曲线标准方程中a,b,c的关系是a2+b2=c2.( ) (3)双曲线 的焦点在y轴上.( ),提示:(1)错误.在标准方程中,a=b时,也表示双曲线. (2)正确.双曲线标准方程中,a,b,c
2、满足a2+b2=c2. (3)错误.根据标准方程的特点,双曲线 的焦点应 在x轴上. 答案:(1) (2) (3),【知识点拨】 1.对双曲线定义的两点说明 (1)距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,且点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则点P在右支上;若点P满足|PF2|-|PF1|=2a,则点P在左支上. (2)在双曲线定义中,规定2a2c时,动点P的轨迹不存在.,2.对双曲线标准方程的四点认识 (1)只有当双曲线的两焦点F1,F2在坐标轴上,并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程. (2)标准方程中的两个参数a和
3、b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中ab0,而双曲线中a,b大小则不确定.,(3)焦点F1,F2的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上,若y2项的系数为正,则焦点在y轴上. (4)双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式,即Ax2+By2=1(AB0).,类型 一 双曲线的定义及应用 【典型例题】 1.(2013三明高二检测)若双曲线 上的一点P到它 的右焦点的距离为8,则点P到它的左焦点的距离是( ) A.4 B.12 C.4或12 D.6,2.
4、(2013大庆高二检测)已知双曲线C: 的左、右 焦点分别为F1,F2,P为双曲线C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|, 则PF1F2的面积等于( ) A.24 B.36 C.48 D.96,【解题探究】1.使用双曲线的定义解题时,要特别注意什么? 2.题2中利用双曲线的定义和|PF2|=|F1F2|可知PF1F2具有哪些特征?如何计算其面积? 探究提示: 1.使用双曲线的定义时,要特别注意“差的绝对值”等于常数. 2.PF1F2是等腰三角形,且|PF1|-|PF2|=2a=6. 可求此等腰三角形的底和底边上的高计算PF1F2的面积.,【解析】1.选C.设双曲线的两个焦点分别为A,B,由
5、定义, |PA|-|PB|=4,|8-|PB|=4,|PB|=4或|PB|=12. 2.选C.在 中,a=3,b=4,c2=a2+b2=25, c=5. 由条件知,|PF2|=|F1F2|=2c=10. 又P为双曲线C的右支上一点, |PF1|-|PF2|=2a=6,|PF1|=16.,过F2作F2TPF1于T,则T为PF1的中点. 且|PT|=8,|F2T|=6, 166=48.,【互动探究】若把题2中,“|PF2|=|F1F2|”改为“|PF1|PF2|=32”,其他条件不变,求F1PF2的值. 【解题指南】结合双曲线定义及余弦定理解题. 【解析】令|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则
6、|r1-r2|=6,且r1r2=32.又2c=10, cosF1PF2= = =0,F1PF2=90.,【拓展提升】 1.双曲线上点的性质,2.焦点三角形问题 双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=,因|F1F2|=2c,所以有 定义:|r1-r2|=2a 余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r2cos 面积公式: r1r2sin 一般地,在PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.,【变式训练】已知双曲线方程为 (a0,b0),点A,B 在双曲线右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|
7、AB|=m,F1 为另一个焦点,则ABF1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m,【解析】选B.设ABF1的周长为Z,则 Z=|AF1|+|BF1|+|AB| =(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB| =(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB| =2a+2a+2m=4a+2m.,类型 二 求双曲线的标准方程 【典型例题】 1.(2013上高高二检测)与椭圆 +y2=1共焦点且过点Q(2,1) 的双曲线方程是( ) A. -y2=1 B. -y2=1 C. D. 2.已知双曲线过P1(
8、-2, )和P2( ,4)两点,求双曲线 的标准方程.,【解题探究】1.在椭圆和双曲线的标准方程中,a,b,c的关系有什么区别? 2.当双曲线的焦点位置不确定时,求标准方程有哪两种常见思路? 探究提示: 1.在椭圆的标准方程中,a2-b2=c2;在双曲线的标准方程中,a2+b2=c2. 2.思路1:分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论. 思路2:设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0).,【解析】1.选A.方法一:椭圆 +y2=1的焦点是 (- ,0)和( ,0), 双曲线的焦点也在x轴上且c= . 设双曲线方程为 (a0,b0),则 且a2+b2=3.解得a2=2,b2=1,故标准方程为
9、-y2=1.,方法二:椭圆 +y2=1的焦点坐标为(- ,0)和( ,0), 双曲线的两个焦点坐标也是(- ,0)和( ,0). 点(2,1)在双曲线上,则2a=| | = ( +1)- ( -1)=2 ,a= .从而b2=3-2=1. 双曲线标准方程为 -y2=1.,2.方法一:当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为 (a0,b0). 由P1,P2在双曲线上,知 解之得 不合题意,舍去;,当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为 (a0,b0). 由P1,P2在双曲线上,知 解之得 即a2=9,b2=16. 故所求双曲线方程为,方法二:双曲线的焦点位置不确定,可设双曲线方程为mx2+ny
10、2=1(mn0). P1,P2在双曲线上, 解得 故所求双曲线方程为 即,【拓展提升】 1.求双曲线标准方程的两个关注点,2.待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤 (1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是两种都有可能. (2)设方程:根据焦点位置,设其方程为 或 (a0,b0),焦点位置不定时,亦可设为 mx2+ny2=1(mn0). (3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b(m,n)代入所设方程即可得(求)标准方程.,【变式训练】求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=3,c=4,焦点在x轴上. (2)焦点为(
11、0,-6),(0,6),经过点A(-5,6). 【解析】(1)由题设a=3,c=4, c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7. 因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为,(2)由已知得c=6,且焦点在y轴上.因为点A(-5,6)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a, 即2a=| | =|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20. 因此,所求双曲线的标准方程是,类型 三 双曲线标准方程的应用 【典型例题】 1.(2013安阳高二检测)若kR,则k3是方程 表示双曲线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D
12、.既不充分也不必要条件,2.(2013大连高二检测)方程 表示的曲线为C, 给出下列四个命题: 曲线C不可能为圆;若14;若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆, 则1k ,其中正确的命题是 .,【解题探究】1.如果方程 表示双曲线,m,n需满足什么条件? 2.形如mx2+ny2=1的方程,何时表示圆?何时表示椭圆?何时表示双曲线?,探究提示: 1.根据双曲线标准方程的特点,当mn0时,方程mx2+ny2=1表示圆,当m0,n0且mn时,方程mx2+ny2=1表示椭圆,当mn0时,方程mx2+ny2=1表示双曲线.,【解析】1.选A.当 表示双曲线时, 有(k-3)(k+3)0,即k3或k3”成立时,
13、方程 表示双曲线,反过来, 当方程表示双曲线时,不一定有k3成立.,2.当4-k=k-1时,k= ,这时4-k=k-10,k= 时,方程表示圆, 故错误;当4-k0,k-10且4-kk-1即14或kk-10,即1k ,故正确. 答案:,【拓展提升】 1.对方程mx2+ny2=1表示曲线的分析,2.双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较,【变式训练】已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型. 【解题指南】利用分类讨论的思想解决. 【解析】(1)当k=0时,y=2,表示两条与x轴平行的直线. (2)当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为2
14、的圆.,(3)当k1时,方程为 表示焦点在y轴上的椭圆.,定义法求双曲线的方程 【典型例题】 1.已知点P(x,y)的坐标满足下列条件,试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形: (1)满足| |=6的轨迹是 . (2)满足 =6的轨迹是 .,2.在MNG中,已知|NG|=4.当动点M 满足条件sinG-sinN= sinM时, 求动点M的轨迹方程. 3.如图,已知定圆C1:x2+y2+10x+24=0, 定圆C2:x2+y2-10x+9=0,动圆C与定圆C1, C2都外切,求动圆圆心C的轨迹方程.,【解析】1.(1)| |表示点P(x,y) 到两定点F1(-5,0),F2(5,0)的距离之差的
15、绝对值,|F1F2|=10, |PF1|-|PF2|=6|F1F2|,故点P的轨迹是双曲线. (2) 表示点P(x,y)到两定点 F1(-4,0),F2(4,0)的距离之差,|F1F2|=8, |PF1|-|PF2|=6|F1F2|, 故点P的轨迹是双曲线的右支. 答案:(1)双曲线 (2)双曲线的右支,2.在MNG中,sinG-sinN= sinM,|NG|=4, 根据正弦定理得|MN|-|MG|= |NG|=21).,3.圆C1化为标准方程为(x+5)2+y2=1, 圆心C1(-5,0),半径r1=1. 圆C2化为标准方程为(x-5)2+y2=42, 圆心C2(5,0),半径r2=4. 设动圆C的圆心坐标为C(x,y),半径为R,则有|CC1|=R+1,|CC2|=R+4, |CC2|-|CC1|=3且|CC2|-|CC1|C1C2|. C点轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支,且a= ,c=5. 动圆圆心C的轨迹方程为 (x- ).,【拓展提升】 1.定义法求双曲线的标准方程 如果平面内的动点P(x,y)满足条件:|
