多读一些著名定理.pdf

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1、本文由 SCIbird 排版整理 多读一些著名定理 SCIbird 说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结 论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。 说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结 论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。 笔者习惯将本科以及本科以下阶段称为少年阶段，这个阶段的学习和梦想 其实是最大胆的，谁不曾没有梦想将来去证明一些大定理。不过随着学习的深 入，大多数人风格上逐渐趋于谨慎和保守，最终守在一小块土地上精耕细作。 这是一种务实的态度，某种程度上也有些无奈。 笔者习惯将本科以及

2、本科以下阶段称为少年阶段，这个阶段的学习和梦想 其实是最大胆的，谁不曾没有梦想将来去证明一些大定理。不过随着学习的深 入，大多数人风格上逐渐趋于谨慎和保守，最终守在一小块土地上精耕细作。 这是一种务实的态度，某种程度上也有些无奈。 所以，趁着同学少年，意气风发时，多读一些著名定理就十分必要了。搞 数学有时候也需要一种疯狂的执着精神，就像黑客一样。当然，多数著名定理 的证明需要引入一些高深的数学工具，特别是现代数学中那些大定理，即便是 准确表述也是很困难的（涉及概念也较多） 。不过，有些著名定理（如素数定理 和不动点定理等）经过后人的不断努力挖掘，避免了引进比较高深的数学工具， 已经可以写进本科

3、教材了。注意，这里并非强调一定要用高中数学来证明的著 名定理，那不现实。 所以，趁着同学少年，意气风发时，多读一些著名定理就十分必要了。搞 数学有时候也需要一种疯狂的执着精神，就像黑客一样。当然，多数著名定理 的证明需要引入一些高深的数学工具，特别是现代数学中那些大定理，即便是 准确表述也是很困难的（涉及概念也较多） 。不过，有些著名定理（如素数定理 和不动点定理等）经过后人的不断努力挖掘，避免了引进比较高深的数学工具， 已经可以写进本科教材了。注意，这里并非强调一定要用高中数学来证明的著 名定理，那不现实。 笔者为什么推崇数学分析新讲一书，除了教材本身写的平易近人之外， 还有一个吸引笔者的地

4、方，那就是新讲收录进很多著名定理，如： 笔者为什么推崇数学分析新讲一书，除了教材本身写的平易近人之外， 还有一个吸引笔者的地方，那就是新讲收录进很多著名定理，如： 1. 万有引力定理与开普勒三定律；万有引力定理与开普勒三定律； 2. 代数基本定理；代数基本定理； 3. 布劳威尔不动点定理；布劳威尔不动点定理； 4. 斯通斯通-魏尔斯特拉斯定理；魏尔斯特拉斯定理； 5. 处处连续处处不可导函数；处处连续处处不可导函数； 6. 填满正方形的连续曲线；填满正方形的连续曲线； 7. 等周问题。等周问题。 等等。按新讲作者张老师的说法： “花费这么多时间和精力学习微积分，学 完之后究竟能做哪些事情？好像

5、除了求极值、求面积体积之外，就什么也不会 了。笔者写这套书，就是想或多或少地改变一下这种状况。 ” 等等。按新讲作者张老师的说法： “花费这么多时间和精力学习微积分，学 完之后究竟能做哪些事情？好像除了求极值、求面积体积之外，就什么也不会 了。笔者写这套书，就是想或多或少地改变一下这种状况。 ” 当年对张老师的这些话，有点感觉，但不深刻。随着水平的不断提高，对 这老师的这句话感悟越来越深。笔者高一时就已经知道了牛顿 当年对张老师的这些话，有点感觉，但不深刻。随着水平的不断提高，对 这老师的这句话感悟越来越深。笔者高一时就已经知道了牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式 本文由 SCIbird 排版整理

6、 ( )( )( ) b a f x dxF bF a= 并且当时能熟练计算一些涉及多项式和三角函数的简单积分（太复杂的形式就 算不出来了） 。当时以自己能计算一些复杂曲边梯形面积和旋转体体积（别人不 会）而自傲，顺便也能解决一下简单的变力做功问题。一直到大一，笔者一直 以为微积分只能干这些活儿。 并且当时能熟练计算一些涉及多项式和三角函数的简单积分（太复杂的形式就 算不出来了） 。当时以自己能计算一些复杂曲边梯形面积和旋转体体积（别人不 会）而自傲，顺便也能解决一下简单的变力做功问题。一直到大一，笔者一直 以为微积分只能干这些活儿。 大二时看到了两本书数学分析新讲和数理方程与特殊函数 ，这两

7、本 书涉及了许多较大定理，涉及很多数学工具综合应用，使笔者意识到原来微积 分的威力不仅仅在于求极值、面积和体积啊，真是井底之蛙！这是自高一自学 微积分以来，认识上的第二次飞跃。 大二时看到了两本书数学分析新讲和数理方程与特殊函数 ，这两本 书涉及了许多较大定理，涉及很多数学工具综合应用，使笔者意识到原来微积 分的威力不仅仅在于求极值、面积和体积啊，真是井底之蛙！这是自高一自学 微积分以来，认识上的第二次飞跃。 上面提到的牛莱公式是可以推广到上面提到的牛莱公式是可以推广到Lebesgue积分上的， 若积分上的， 若( )f x是是L可积的， 且除去有限个例外点之外有 可积的， 且除去有限个例外点

8、之外有( )( )F xf x=，则牛莱公式仍然成立。特别地，学过 实变函数的读者还知道，存在一个“康托三分集函数” ，除去一个不可数的零测 集之外有 ，则牛莱公式仍然成立。特别地，学过 实变函数的读者还知道，存在一个“康托三分集函数” ，除去一个不可数的零测 集之外有( )( )F xf x=，但牛莱公式不成立，这是一个经典反例。，但牛莱公式不成立，这是一个经典反例。 但是，恐怕很多人不了解下面这个最强牛莱定理：但是，恐怕很多人不了解下面这个最强牛莱定理： 设设(),CFaxb是连续函数，是连续函数，( ) , Lf xa b是是 Lebesgue 可积的，若至多 除去一个可数集之外，有 可

9、积的，若至多 除去一个可数集之外，有( )( )F xf x=，则，则 ( )( )( ) b a f x dxF bF a= 如果说如果说 Riemann 积分中的牛莱公式相对平淡无味的话，那么上面的这个定理就 是笔者所言的著名定理了。 实际上，“至多除去一个可数集之外， 有 积分中的牛莱公式相对平淡无味的话，那么上面的这个定理就 是笔者所言的著名定理了。 实际上，“至多除去一个可数集之外， 有( )( )F xf x=” 这个条件满足时，此时 ” 这个条件满足时，此时( )F x是绝对连续的。细心读者也能发现，上面的定理可 以反推出康托三分集函数反例中的零测集是不可数集。定理也暗示着我们，

10、同 样是零测集，但可数集和不可数零测集之间是有深刻差别的。 是绝对连续的。细心读者也能发现，上面的定理可 以反推出康托三分集函数反例中的零测集是不可数集。定理也暗示着我们，同 样是零测集，但可数集和不可数零测集之间是有深刻差别的。 多看著名定理，你一般有这样的感觉：定理的证明往往涉及到很多数学工 具的组合和应用，其中更包含许多创造性的想法。这一点从一般教材上是学不 到的，因为教材通常出于逻辑考虑，基本上是一章一个内容，例子和习题大多 是针对该章节内容的，跨章节的组合题很少。稍不注意就变成了只见树木，不 见森林了。比如很多人感到中值定理题中的辅助函数很难想，其实如果联想的 常微分方程中的一些方法

11、，很多辅助函数的构造还是很自然的。 多看著名定理，你一般有这样的感觉：定理的证明往往涉及到很多数学工 具的组合和应用，其中更包含许多创造性的想法。这一点从一般教材上是学不 到的，因为教材通常出于逻辑考虑，基本上是一章一个内容，例子和习题大多 是针对该章节内容的，跨章节的组合题很少。稍不注意就变成了只见树木，不 见森林了。比如很多人感到中值定理题中的辅助函数很难想，其实如果联想的 常微分方程中的一些方法，很多辅助函数的构造还是很自然的。 本文由 SCIbird 排版整理 数学中泛泛而谈总是收获不多的，特别是本科阶段，最好不要养成这种习 惯。可能 数学中泛泛而谈总是收获不多的，特别是本科阶段，最好

12、不要养成这种习 惯。可能SCIbird最近在论坛上发了一些文章似乎就是泛泛而谈，确实如此， 不过当年是新人的时候还是扎扎实实地推导过的，甚至动手进行排版打印。网 上流传着一些 最近在论坛上发了一些文章似乎就是泛泛而谈，确实如此， 不过当年是新人的时候还是扎扎实实地推导过的，甚至动手进行排版打印。网 上流传着一些SCIbird做的北大研究生考试数学分析试题解答（做的北大研究生考试数学分析试题解答（06、08、09 和和 11）就是证据，这些解答大部分都是有详细推导的。现在来看，有的分析解答写 得也不甚完美，个别地方还是有些小错误的，所以读者必须亲手推导一遍才行。 ）就是证据，这些解答大部分都是有

13、详细推导的。现在来看，有的分析解答写 得也不甚完美，个别地方还是有些小错误的，所以读者必须亲手推导一遍才行。 最后，既然现身说法，那笔者就要示范一下，选取的例子是数学大师柯尔 莫哥洛夫的少年成名之作 最后，既然现身说法，那笔者就要示范一下，选取的例子是数学大师柯尔 莫哥洛夫的少年成名之作-0, 2 L中几乎处处无界发散的中几乎处处无界发散的 Fourier 级数反 例。证明细节选自汪林等编著的实分析中的反例一书，陈建功的三角级 数论下册也收录进这个反例。 级数反 例。证明细节选自汪林等编著的实分析中的反例一书，陈建功的三角级 数论下册也收录进这个反例。 证明之前先说几句。证明本身没有用到什么高

14、深的数学工具，只要认真读 过新讲或其它数学分析教材，再加上一点实变函数知识（零测集，逐 项积分定理）即可，知识范围基本上在大三以内。不过，证明本身比较复杂， 技巧性的放缩估计比较多（硬推导） 。按笔者的看法，读者应该紧紧抓住“无界 矩形脉冲函数序列” （阶梯函数）这一主线，看看是如何从中巧妙地“构造”出 调和级数的，柯尔莫哥洛夫这篇文章把阶梯函数的妙用发挥到极致了！ 证明之前先说几句。证明本身没有用到什么高深的数学工具，只要认真读 过新讲或其它数学分析教材，再加上一点实变函数知识（零测集，逐 项积分定理）即可，知识范围基本上在大三以内。不过，证明本身比较复杂， 技巧性的放缩估计比较多（硬推导）

15、 。按笔者的看法，读者应该紧紧抓住“无界 矩形脉冲函数序列” （阶梯函数）这一主线，看看是如何从中巧妙地“构造”出 调和级数的，柯尔莫哥洛夫这篇文章把阶梯函数的妙用发挥到极致了！ 先从一个广义积分说起。通过适当的放缩，可以证明下面的广义积分是收敛的先从一个广义积分说起。通过适当的放缩，可以证明下面的广义积分是收敛的 0 2 0 6 ( ) 1sin x dx f x dx xx = + 注意到注意到0x 时， 被积函数时， 被积函数( )0f x， 但是， 但是()f nn=， 这说明， 这说明lim ( ) x f x =+成 立。进一步研究函数图形发现 成 立。进一步研究函数图形发现( )

16、f x在在xn=临近，函数图形急剧上升，其它地 方急剧下降，这很像一个脉冲函数。更直观的例子是三角脉冲连续函数，图形 是一些三角形，这些三角脉冲越来越窄，但峰值却越来越高，而每个三角形的 面积却是有限的。 临近，函数图形急剧上升，其它地 方急剧下降，这很像一个脉冲函数。更直观的例子是三角脉冲连续函数，图形 是一些三角形，这些三角脉冲越来越窄，但峰值却越来越高，而每个三角形的 面积却是有限的。 从直观化的角度看，面积可以看成高度与宽度两个变量的乘积，如果一个 变量急剧增加，另一个变量急剧减少，那么乘积仍然可能是有限的。如果抛开 连续性条件，可以构造一个无界矩形脉冲函数序列（阶梯函数） 从直观化的角度看，面积可以看成高度与宽度两个变量的乘积，如果一个 变量急剧增加，另一个变量急剧减少，那么乘积仍然可能是有限的。如果抛开 连续性条件，可以构造一个无界矩形脉冲函数序列（阶梯函数） 2 ( ), 11 ,;,2( )0 n n n nn m f x