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1、 湖南师大附中2019届高三月考试卷(六)数学(理科) 时量:120分钟满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合A4,2,a1,B0,2,a21,若AB2,则实数a满足的集合为(D)A1 B1 C1,1 D2已知复数z满足z3i,则z(D)A1i B1i C.i D.i3下列说法正确的是(D)A命题“x0,使x10”的否定为“x,都有x210”B命题“若向量a与b的夹角为锐角,则ab0”及它的逆命题均为真命题C命题“在锐角ABC中,sin Acos B”为真命题D命题“若x2x0,则x0或x1”的逆否命题为“若x
2、0且x1,则x2x0”【解析】命题“x0,使x10”的否定应为“x,都有x210”的逆命题为假命题,故B错误;锐角ABC中,ABAB0,sin Asincos B,所以C错误,故选D.4我国古代数学名著九章算术里有一道关于玉石的问题:“今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两今有石方三寸,中有玉,并重十一斤(176两)问玉、石重各几何?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,运行该程序框图,则输出的x,y分别为(C)A90,86 B94,82 C98,78 D102,74【解析】执行程序框图,x86,y90,s27;x90,y86,s27;x94,y82,s27;x98,y78,s27,
3、结束循环,输出的x,y分别为98,78,故选C.5已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数,记af(log0.53),bf,cf则a,b,c的大小关系为(B)Aabc Bacb Ccab Dcba【解析】函数f是偶函数,ff在R上恒成立,m0,当x0时,易得f(x)21为增函数,af(log0.53)f(log23),bf,cf,log232log25,acb,故选B.6学校组织学生参加社会调查,某小组共有5名男同学,4名女同学现从该小组中选出3名同学分别到A,B,C三地进行社会调查,若选出的同学中男女均有,则不同的安排方法有(D)A70种 B140种 C840种 D420
4、种【解析】从9名同学中任选3名分别到A,B,C三地进行社会调查有CA种安排方法,3名同学全是男生或全是女生有(CC)A种安排方法,故选出的同学中男女均有的不同安排方法有CA(CC)A420(种)7已知(x1)5(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9,则a7(B)A9 B36 C84 D243【解析】令tx1,则(x1)5(x2)9(t2)5(t1)9,只有(t1)9中展开式含有t7项,所以a7C36,选B.8已知变量x,y满足约束条件则的取值范围是(B)A. B. C. D.【解析】将题中可行域表示如右图,易知k在A(1,3)处取得最小值3,且斜率k小于直线xy1的斜率1,故3
5、k1,则1,故0.9正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长相等,E为SC的中点,则BE与SA所成角的余弦值为(C)A. B. C. D.【解析】如图,设ACBDO,连接OE,因为OE是SAC的中位线,故EOSA,则BEO为BE与SA所成的角设SAAB2a,则OESAa,BESAa,OBSAa,所以EOB为直角三角形,所以cosBEO,故选C.10如图所示,点F是抛物线y28x的焦点,点A,B分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围是(C)A(2,6) B(6,8) C(8,12) D(10,14)【解析】抛物线的准线l:x2,焦点
6、F(2,0),由抛物线定义可得|AF|xA2,圆(x2)2y216的圆心为(2,0),半径为4,三角形FAB的周长为|AF|AB|BF|(xA2)(xBxA)46xB,由抛物线y28x及圆(x2)2y216可得交点的横坐标为2,则xB(2,6),所以6xB(8,12),故选C.11在平面直角坐标系xOy中,已知点A(,0),B(1,2),D(3,2),动点P满足,其中0,1,0,2,1,2,则点P落在三角形ABD里面的概率为(A)A. B. C. D.【解析】以OA,OB为邻边做平行四边形OACB,延长OB至E,使得OE2OB,且0,1,0,2,1,2,P点位于平行四边形ABEC的内部(包含边
7、界),则点P落在三角形ABD里面的概率P,选A.12已知函数f(x)4sin,x,若函数F(x)f(x)3的所有零点依次记为x1,x2,x3,xn,且x1x2x30,b0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为_14设函数f(x)的导数为f(x),且f(x)x3fx2x,f(x),则f(1)_0_【解析】因为f(x)x3fx2x,所以f(x)3x22fx1,所以f32f1,则f1,f(x)x3x2x,则f(x)3x22x1,故f(1)0.15已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上,PC为该球的直径,ABC是边长为4的等边三角形,三棱锥PABC的体积为,则此三棱
8、锥的外接球的表面积为_【解析】依题意,记三棱锥PABC的外接球的球心为O,半径为R,点P到平面ABC的距离为h,则由VPABCSABChh得h.又PC为球O的直径,因此球心O到平面ABC的距离等于h.又正ABC的外接圆半径为r,因此R2r2,所以三棱锥PABC的外接球的表面积为4R2.16已知在平面四边形ABCD中,AB,BC2,ACCD,ACCD,则四边形ABCD的面积的最大值为_3_【解析】如图所示,设ABC,(0,),则在ABC中,由余弦定理得,AC2AB2BC22ABBCcos 64cos ,四边形ABCD的面积为SSABCSACD(ABBCsin ACCD),化简得:S(2sin 6
9、4cos )3(sin 2cos )3sin(),其中tan 2,当sin()1时,S取得最大值为3.三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17(本题满分12分)设数列an的前n项和为Sn,满足2Snan12n11,nN*,且a11,设bn2,nN*.(1)求数列bn的通项公式;(2)证明:对一切正整数n,有2,即3n2n2n,11.11分当n1时,1,上式也成立综上可知,对一切正整数n,有.12分18(本题满分12分)如图,在梯形ABCD中,ABCD,ADDCCB1,
10、ABC60,四边形ACFE为矩形,平面ACFE平面ABCD,CF1.(1)求证:BC平面ACFE;(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角为,试求cos 的取值范围【解析】 (1)在梯形ABCD中,因为ABCD,ADDCCB1,ABC60,所以AB2,2分所以AC2AB2BC22ABBCcos 603,所以AB2AC2BC2,所以BCAC.4分因为平面ACFE平面ABCD,平面ACFE平面ABCDAC,BC平面ABCD,所以BC平面ACFE.6分(2)建立以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系如图所示,令FM(0),则C(0,0,0),A(,0,0),B
11、(0,1,0),M(,0,1),所以(,1,0),(,1,1),设n1(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,由得取x1,所以n1(1,),9分因为n2(1,0,0)是平面FCB的一个法向量所以cos .因为0,所以当0时,cos 有最小值,当时,cos 有最大值.所以cos .12分19(本题满分12分)如图,已知椭圆C1:y21的左、右顶点为A1,A2,上、下顶点为B1,B2,记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.(1)求圆C2的标准方程;(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P,M两点()求证:OPOM;()试探究是否为定值【解析】(1)因为A2,B1分别为椭圆C1:y21的右顶点和上顶点,则A2,B1坐标分别为(2,0),(0,1),可得直线A2B1的方程为:x2y2.2分则原点O到直线A2B1的距离为d,则圆C2的半径r