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1、 湖南师大附中2019届高三月考试卷(六)数学(理科) 时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A4，2，a1，B0，2，a21，若AB2，则实数a满足的集合为(D)A1 B1 C1，1 D2已知复数z满足z3i，则z(D)A1i B1i C.i D.i3下列说法正确的是(D)A命题“x0，使x10”的否定为“x，都有x210”B命题“若向量a与b的夹角为锐角，则ab0”及它的逆命题均为真命题C命题“在锐角ABC中，sin Acos B”为真命题D命题“若x2x0，则x0或x1”的逆否命题为“若x
2、0且x1，则x2x0”【解析】命题“x0，使x10”的否定应为“x，都有x210”的逆命题为假命题，故B错误；锐角ABC中，ABAB0，sin Asincos B，所以C错误，故选D.4我国古代数学名著九章算术里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为(C)A90，86 B94，82 C98，78 D102，74【解析】执行程序框图，x86，y90，s27；x90，y86，s27；x94，y82，s27；x98，y78，s27，
3、结束循环，输出的x，y分别为98，78，故选C.5已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf，cf则a，b，c的大小关系为(B)Aabc Bacb Ccab Dcba【解析】函数f是偶函数，ff在R上恒成立，m0，当x0时，易得f(x)21为增函数，af(log0.53)f(log23)，bf，cf，log232log25，acb，故选B.6学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(D)A70种 B140种 C840种 D420
4、种【解析】从9名同学中任选3名分别到A，B，C三地进行社会调查有CA种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(CC)A种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有CA(CC)A420(种)7已知(x1)5(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，则a7(B)A9 B36 C84 D243【解析】令tx1，则(x1)5(x2)9(t2)5(t1)9，只有(t1)9中展开式含有t7项，所以a7C36，选B.8已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是(B)A. B. C. D.【解析】将题中可行域表示如右图，易知k在A(1，3)处取得最小值3，且斜率k小于直线xy1的斜率1，故3
5、k1，则1，故0.9正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为(C)A. B. C. D.【解析】如图，设ACBDO，连接OE，因为OE是SAC的中位线，故EOSA，则BEO为BE与SA所成的角设SAAB2a，则OESAa，BESAa，OBSAa，所以EOB为直角三角形，所以cosBEO，故选C.10如图所示，点F是抛物线y28x的焦点，点A，B分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是(C)A(2，6) B(6，8) C(8，12) D(10，14)【解析】抛物线的准线l：x2，焦点
6、F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|xA2，圆(x2)2y216的圆心为(2，0)，半径为4，三角形FAB的周长为|AF|AB|BF|(xA2)(xBxA)46xB，由抛物线y28x及圆(x2)2y216可得交点的横坐标为2，则xB(2，6)，所以6xB(8，12)，故选C.11在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，B(1，2)，D(3，2)，动点P满足，其中0，1，0，2，1，2，则点P落在三角形ABD里面的概率为(A)A. B. C. D.【解析】以OA，OB为邻边做平行四边形OACB，延长OB至E，使得OE2OB，且0，1，0，2，1，2，P点位于平行四边形ABEC的内部(包含边
7、界)，则点P落在三角形ABD里面的概率P，选A.12已知函数f(x)4sin，x，若函数F(x)f(x)3的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1x2x30，b0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为_14设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)x3fx2x，f(x)，则f(1)_0_【解析】因为f(x)x3fx2x，所以f(x)3x22fx1，所以f32f1，则f1，f(x)x3x2x，则f(x)3x22x1，故f(1)0.15已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥PABC的体积为，则此三棱
8、锥的外接球的表面积为_【解析】依题意，记三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VPABCSABChh得h.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h.又正ABC的外接圆半径为r，因此R2r2，所以三棱锥PABC的外接球的表面积为4R2.16已知在平面四边形ABCD中，AB，BC2，ACCD，ACCD，则四边形ABCD的面积的最大值为_3_【解析】如图所示，设ABC，(0，)，则在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos 64cos ，四边形ABCD的面积为SSABCSACD(ABBCsin ACCD)，化简得：S(2sin 6
9、4cos )3(sin 2cos )3sin()，其中tan 2，当sin()1时，S取得最大值为3.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分17(本题满分12分)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a11，设bn2，nN*.(1)求数列bn的通项公式；(2)证明：对一切正整数n，有2，即3n2n2n，11.11分当n1时，1，上式也成立综上可知，对一切正整数n，有.12分18(本题满分12分)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，
10、ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.(1)求证：BC平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角为，试求cos 的取值范围【解析】 (1)在梯形ABCD中，因为ABCD，ADDCCB1，ABC60，所以AB2，2分所以AC2AB2BC22ABBCcos 603，所以AB2AC2BC2，所以BCAC.4分因为平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，所以BC平面ACFE.6分(2)建立以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系如图所示，令FM(0)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B
11、(0，1，0)，M(，0，1)，所以(，1，0)，(，1，1)，设n1(x，y，z)为平面MAB的一个法向量，由得取x1，所以n1(1，)，9分因为n2(1，0，0)是平面FCB的一个法向量所以cos .因为0，所以当0时，cos 有最小值，当时，cos 有最大值.所以cos .12分19(本题满分12分)如图，已知椭圆C1：y21的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.(1)求圆C2的标准方程；(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点()求证：OPOM；()试探究是否为定值【解析】(1)因为A2，B1分别为椭圆C1：y21的右顶点和上顶点，则A2，B1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A2B1的方程为：x2y2.2分则原点O到直线A2B1的距离为d，则圆C2的半径r
