《2010-2019年（近10年）研究生入学考试（考研）数学一真题和答案详解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010-2019年（近10年）研究生入学考试（考研）数学一真题和答案详解（155页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限=(A)1(B)(C)(D) (2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且则=(A)(B)(C)(D) (3)设为正整数,则反常积分的收敛性(A)仅与取值有关(B)仅与取值有关(C)与取值都有关(D)与取值都无关(4)= (A)(B) (C)(D)(5)设为型矩阵为型矩阵,若则(A)秩秩(B)秩秩 (C)秩秩(D)秩秩(6)设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于(A)(B) (C)(D) (7)设随机变量的分
2、布函数 则=(A)0(B)1 (C) (D)(8)设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度, 为概率密度,则应满足(A)(B) (C)(D)二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设求= .(10)= .(11)已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分= .(12)设则的形心的竖坐标= .(13)设若由形成的向量空间的维数是2,则= .(14)设随机变量概率分布为则= .三、解答题(1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求微分方程的通解.(16)(本题满分1
3、0分)求函数的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(1)比较与的大小,说明理由(1) 记求极限(18)(本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设为椭球面上的动点,若在点的切平面与面垂直,求点的轨迹并计算曲面积分其中是椭球面位于曲线上方的部分. (20)(本题满分11分)设已知线性方程组存在两个不同的解.(1)求(2)求方程组的通解. (21)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为(1)求(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度 (23)(本题满分11 分)设总体
4、的概率分布为123其中未知,以来表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数试求常数使为的无偏估计量,并求的方差.2010年考研数学一真题答案解析2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1) 曲线的拐点是( )(A) (B) (C) (D) (2) 设数列单调减少， 无界，则幂级数的收敛域为( )(A) (B) (C) (D) (3) 设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) ， (B) ，(C) ， (D
5、) ，(4) 设，则的大小关系是( ) (A) (B) (C) (D) (5) 设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，则( ) (A) (B) (C) (D) (6) 设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为( )(A) (B) (C) (D) (7) 设，为两个分布函数，其相应的概率密度，是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) (B)(C) (D)(8) 设随机变量与相互独立，且与存在，记，则( )(A) (B)(C) (D)二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(9) 曲线的弧长
6、 (10) 微分方程满足条件的解为 (11) 设函数，则 (12) 设是柱面方程与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 (13) 若二次曲面的方程，经过正交变换化为，则 (14) 设二维随机变量服从正态分布，则= 三、解答题：1523小题，共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)求极限(16)(本题满分9分)设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求(17)(本题满分10分)求方程不同实根的个数，其中k为参数(18)(本题满分10分)()证明：对任意的正整数n，都有 成立()设，证明数列收敛
7、(19)(本题满分11分)已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中，计算二重积分(20)(本题满分11分)设向量组，不能由向量组，线性表示 (I) 求的值；(II) 将由线性表示(21)(本题满分11分)为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且(I) 求的特征值与特征向量；(II) 求矩阵(22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为1且(I) 求二维随机变量的概率分布；(II) 求的概率分布；(III) 求与的相关系数（23）（本题满分 11分）设为来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知和分别表示样本均值和样本方差(I) 求参数的最大似然估计量；(II) 计算和2011年全国硕士研究生入学
8、统一考试数学一试题答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)【答案】(C)【解析】记，其中，在两侧，二阶导数符号变化，故选(C)(2)【答案】(C)【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在处，故(A)，(B)错误；因为单调减少，所以，所以为正项级数，将代入幂级数得，而已知Sn=无界，故原幂级数在处发散，(D)不正确当时，交错级数满足莱布尼茨判别法收敛，故时收敛故正确答案为(C)(3)【答案】(A)【解析】,故,又故(4)【答案】(B)【解
9、析】因为时， ，又因是单调递增的函数，所以故正确答案为(B)(5)【答案】 (D)【解析】由于将的第2列加到第1列得矩阵，故，即，由于交换的第2行和第3行得单位矩阵，故，即故因此，故选(D)(6)【答案】(D)【解析】由于是方程组的一个基础解系，所以，且，即，且由此可得，即，这说明是的解由于，所以线性无关又由于，所以，因此的基础解系中含有个线性无关的解向量而线性无关，且为的解，所以可作为的基础解系，故选(D)(7)【答案】(D)【解析】选项(D) 所以为概率密度 (8)【答案】(B)【解析】因为 所以，于是 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(9)【答案
10、】【解析】选取为参数，则弧微元所以(10)【答案】【解析】由通解公式得 由于故=0所以(11)【答案】4【解析】，故 (12)【答案】【解析】取，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=因由转换投影法得(13)【答案】【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵的特征值，故的特征值为0，1，4二次型所对应的矩阵，由于，故(14)【答案】【解析】根据题意，二维随机变量服从因为，所以由二维正态分布的性质知随机变量独立，所以从而有三、解答题：1523小题，共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)【解析】(16)(本题满
11、分9分)【解析】因为在可导，且为极值,所以，则(17)(本题满分10分)【解析】显然为方程一个实根当时，令 令，即又因为，即当时，； 当时，当时，；当时，所以当时，单调递减，当时，单调递增又由， ，所以当时，由零点定理可知在，内各有一个零点； 当时，则在，内均无零点综上所述，当时，原方程有三个根当时，原方程有一个根(18)(本题满分10分)【解析】()设显然在上满足拉格朗日的条件，所以时，即：，亦即：结论得证（II）设先证数列单调递减，利用（I）的结论可以得到，所以得到，即数列单调递减再证数列有下界，得到数列有下界利用单调递减数列且有下界得到收敛(19)(本题满分11分)【解析】因为，所以(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于不能由线性表示，对进行初等行变换：当时，此时，不能由线性表示，故不能由线性表示(II)对进行初等行变换：，故，(2
