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1、第8课时“直线与椭圆的位置关系2享握椭圆中定点、定值、最值问题的求解万凄J2新视点.名师博宰1.有关直线与柴圆的位置关系的两类问题:|一是判断位置关系,二是依据位置关系确定参数的值或取值范围,两类问题在解决方法上是一致的,都是要将直线方程和榈圆方程联立,利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解.(LD)直线和椭圆的三种位置关系,当直线与椭圆有两个交点时,称直线与椭圆相交;当直线与榈圆有一个交点时,称盯线与榈圆相切;当直线与柑图i时,:称直线与椭圆相离.(2研究直线与椭圆的位置关系时一般解直线方程与枕圆方程所4xr十By十C一0,组成的方程组P2-LaPyp-aP通过对方程组解的个数的讨论
2、判断出直线与柑圆的位置关系.2.直线与椭圆相交弦的两类问题(D弦长问题:设斜率为人的直线与柑圆的两交点为4(r,),BCea,史,由两点闰的距离公式可得弦长为48一MEa一P万Oy一17一TFRha一ml,再由根不系数的关系得48=VIHRMGaFFT4n租)中点弦问题:充分利用“中点“这一条件,灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系,方法一是设出方程,根据中点坐标求出户方法二是设出两交点坐标,代入一程;整体作差求斜并(也叫点差法).3.栋圆中的定点与定值问题榈圆中定点、定值问题是楠圆性质的进一步应用,解决时应用到数形结合,分类讨论,几何法等方法,解决此类问题方法有两种:一是进行一般计算推理求出
3、结果;二是通过检查极端位置,探素出“定点“定值“,然后再进行一般性证明或计算.4.柑圆中的最值问题(与椭圆有关的最值问题具有较强的综合性,涉及数字知识的多种知识点,诸如几何、三角、函数、不等式等,也与椭圆的定义、方程联系密切,思维能力要求比较高.(2)常用的方法如下:GD利用定义转化为几何问题处理.)利用数形结合挚据数学安达式的几何牺佐进而求解.)利用函数最值的探求方法,将其苏化丶函数的最值来处理,此时应充分注意榈圆中x,y的范围,常常转化为闭区间上的二次函数的最值来求解.(3)利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理3新课堂.互动探究5力点一直线与杵圆的位署关系及弦长问题例1己知枕
4、圆4x2-HJ2一1及直线y一x十(D)当人为何值时,直线与朱圆有公共点?Q)若直线被柑圆截得的弦长为310,求直线的方程分析:本题思路明硫,可先将直线方程与捕圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程,利用根的判别式和弦长公式易得其解e0一一解:(1)把直线方程y一r十m代入榈圆方程4r“十y.3十2一1,即5十2mr十一1二0,则A一(2j7一4X5X(m2一1)一20一16m7尹0,解得_萼m宴誓-(2)设直线与柑圆的两个交点的横坐标为r,xm,由(D得xu+x一2匕l,25、以一3吻吨二型一根据弦长公式.得V1十1心_2M105。解得m一0.所以,所求直线方程为y一x-点评:判断直线和榈
5、圆的位置关系,主要是转化为判断一元二次方程根的问题,弦长问题一般用根与系数的关系解诀.力点一直线与椭圆的中点弦问题辽i心80一例2如图,已知一真线与描圆4r.-+52一36真交于4、五两点,弦48的中点坐标为Ml,1),求直线48的方程.分析:本题主要考查柑圆的中点弦问题,由于MK1,1)为弦的中点,则用点差法或根与系数的关系,将“中点“这一条件应用其中求斜率即可.解:解法一:设通过点帆Ln的直线胭的方程若y二飚_n平L弘代入枕圆方程,整理得P十4)x“十18K(1一x十9(1一切“一36一0.设丿五的横坐标分别为xl、:z,吊十吊“一18KCL一义一g贺02志-工g一一解得肖-一故直线左B的
6、方程为y二_羞x_U十L即4x十9y一13万0.解法二,设4Caam):“4B中点丶(i,D,.乃点坐标是(2一x12一0)-将丿友两点坐标代入方程42十9P一36,得4周十9当一36一0,D)4一xj“十9(2一7二36,化简为4十9肖一16r一36十16一0.)一得16n十36一52二0,化简为4十9一13一0.同理可推出4(2一x)十9(2一)一13一0.5“4d(rb,J0与B(2一x12一yU)都漾足方程4xr一9y一13二0.4x十9一13一0即为所求.点评:求解中点弦问题的关键在于充分利用“中点“这一条件,灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系,本题中的解法一是设出直线方程,根据中点坐标公式求出一解法二是“设而不求“,即设出交点坐标,代入方程,整体求出斜轻:
