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1、1.2.1 平面的基本性质与推论,一,二,三,四,一、点、线、面之间的位置关系及表示 【问题思考】 1.“直线l不在平面内”就是说“直线l与平面平行”对吗? 提示:不对,直线l不在平面内说明直线l与平面平行或者直线l与平面相交. 2.填写下表:,一,二,三,四,一,二,三,四,3.做一做:下列图形中,满足=AB,a,b,aAB,bAB的图形是( ),解析:可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断. 答案:C,一,二,三,四,二、平面的基本性质 【问题思考】 1.经过空间中的三点,能作出几个平面? 提示:当三点共线时,能作出无数个平面,当三点不共线时,只能过该三点作出唯一的一个平面. 2
2、.填写下表:,一,二,三,四,一,二,三,四,3.做一做:如果直线a平面,直线b平面,Ma,Nb,且Ml,Nl,那么( ) A.l B.l C.l=M D.l=N 解析:因为Ma,Nb,a,b,所以M,N,根据基本性质1可知l.故选A. 答案:A,一,二,三,四,4.做一做:若两个不重合的平面有公共点,则公共点有( ) A.1个 B.2个 C.1个或无数个 D.无数个且在同一条直线上 解析:利用基本性质3可知若两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点. 答案:D,一,二,三,四,三、平面基本性质的推论 【问题思考】 1.对于
3、基本性质2及平面基本性质的三个推论你是怎样理解的? 提示:基本性质2和平面基本性质的三个推论可作为确定平面的依据,还可作为判定两个平面重合的依据.“确定”和“有且只有一个”是同义词.“有”说明存在性,“只有一个”说明唯一性.数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图形一定存在,所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”.符合某一条件的图形既存在,而且只能有一个,就说明这个图形是完全确定的.,一,二,三,四,2.填写下表:,一,二,三,四,四、空间两条直线的位置关系 【问题思考】 1.如图所示长方体ABCD-A1B1C1D1,你能找出一个平面能同时经过棱AB和棱B1C1所在的直线吗? 提示:找不
4、到,因为这两条棱所在的直线既不平行,也不相交.它们是不能同在任何一个平面内的,这样的两条直线就是本节所要研究的异面直线.,一,二,三,四,2.填写下表:,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)如果直线a与直线b是异面直线,直线b与直线c也是异面直线,那么直线a与直线c也一定是异面直线. ( ) (2)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面必重合. ( ) (3)平面与平面只有一个公共点. ( ) (4)不共线的四点最多可确定4个平面. ( ) (5)两两相交的三条直线必共面. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探
5、究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,文字语言、图形语言和符号语言的转换 【例1】 如图所示,写出图形中的点、直线和平面之间的关系. 图(1)可以用几何符号表示为 . 图(2)可以用几何符号表示为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析:图(1)可以用几何符号表示为=AB,a,b,aAB,bAB. 即平面与平面相交于直线AB,直线a在平面内,直线b在平面内,直线a平行于直线AB,直线b平行于直线AB. 图(2)可以用几何符号表示为=MN,ABC的三个顶点满足条件AMN,B,C,BMN,CMN. 即平面与平面相交于直线MN,ABC的顶点A在直线MN上,点B在内但不在直线MN上,点C
6、在平面内但不在直线MN上. 答案:=AB,a,b,aAB,bAB =MN,ABC的三个顶点满足条件AMN,B,C,BMN,CMN,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟在立体几何中使用符号语言时,应明确符号语言在代数与几何中的差异.首先是结合集合知识了解规定符号的背景,然后找出它们的区别与联系: (1)“,”等符号来源于集合符号,但在读法上用几何语言,例如,A,读作“点A在平面内”,a读作“直线a在平面内”,=l读作“平面,相交于直线l”. (2)在“A,A,l,l”中“A”视为平面(集合)内的点(元素),直线l(集合)视为平面(集合)的子集.明确这一点,才能正确使用集合符号.,探
7、究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,点线共面问题 【例2】 (1)有下列四个说法: 过三点确定一个平面; 矩形是平面图形; 三条直线两两相交则确定一个平面; 两个相交平面把空间分成四个区域. 其中错误的序号是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 (2)如图所示,已知直线a与两平行直线b,c都相交.求证:a,b,c三线共面.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(1)解析:不共线的三点确定一个平面,故错;三条直线两两相交,交于三点时,确定一个平面,交于一点时,可确定一个或三个平面,故错. 答案:B (2)思路分析:有两种方法.先用两平行直线b,c确定一个平面,再证a也在这个平面内;先
8、由两条相交直线a,b确定一个平面,再证c也在这个平面内. 证法一因为bc,所以b,c确定一个平面,设为,如图. 令ab=A,ac=B, 所以A,B, 所以AB,即直线a. 所以a,b,c三线共面.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,证法二因为a与b是相交直线,所以a,b确定一个平面,设为,如图. 设ac=A,过A点在内作直线cb, 因为cb,cb,所以cc. 又因为c与c相交于点A, 所以c与c重合.所以a,b,c三线共面. 反思感悟1.本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式,但整体套路都是先用部分对象确定一个平面,再证明剩余对象都在这个平面内. 2.证明点线共面还可以先证明有关
9、的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练求证:两两相交且不共点的四条直线共面. 解:已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线, 求证:a,b,c,d共面. 证明:(1)无三线共点情况,如图(1)所示. 设ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S. 则由ad=M,知a,d可确定一个平面. 因为Nd,Qa,所以N,Q. 所以NQ,即b. 同理c.所以a,b,c,d共面.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(2)有三线共点的情况,如图(2)所示. 设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P
10、,M,且Ka. 因为Ka,所以K和a确定一个平面,设为. 因为Na,a,所以N. 所以NK,即b. 同理c,d.所以a,b,c,d共面. 由(1)(2)知,a,b,c,d共面.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,线共点问题 【例3】 (1)在空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上依次取点E,F,G,H,若EH,FG所在直线相交于点P,则( ) A.点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C.点P必在平面BCD外 D.点P必在平面ABC内 (2)如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DFFC=DHHA=23,求证:EF,GH,B
11、D交于一点.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,思路分析:(1)根据基本性质3易知点D交线BP; (2)先设GH与EF交于O,再说明OBD即可. (1)答案:B (2)解:如图可知,平面ABD平面BCD=BD.,所以FHGE且GH,EF交于点O. 因为GH平面ABD,OGH. 所以O平面ABD. 因为EF平面BCD,OEF, 所以O平面BCD. 所以OBD.所以EF,GH,BD交于一点.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟证明三线共点常用的方法 1.先说明两条直线共面且交于一点,再说明这个点在两个平面内.于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点. 2.先说明a,b
12、相交于一点A,b与c相交于一点B,再说明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点. 注意:证明线共点主要利用基本性质1,基本性质3作为推理的依据.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(1)例3(2)中将证明EF,GH,BD交于一点改为判断E,F,G,H四点是否共面并证明. (2)例3(2)中如果将条件改为在AB,BC,CD,DA上分别取点G,E,F,H并且满足GH与EF相交于一点O,结论如何? 解:(1)因为DFFC=DHHA=23, 所以FHAC且FH= AC, 因为点E,G分别为BC,AB的中点, 所以GEAC且GE= AC, 故GEHF且GEHF, 所以E,F,G,H四点共面且
13、组成梯形.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(2)EF,GH,BD交于点O. 证明:因为GH与EF相交于一点O,GH在平面ABD内,EF在平面BCD内,所以O在两平面的交线上,而平面ABD与平面BCD交于直线BD, 所以O在BD上,即EF,GH,BD交于点O.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,交线问题 【例4】 如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线. (1)过点G及直线AC; (2)过三点E,F,D1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,思路分析:找出两个平
14、面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线. 解:(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图所示. (2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图所示.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.画两平面的交线时,关键是找到这两个平面的两个公共点,这两个公共点的连线即是.在找公共点的过
15、程中往往要借助于基本性质1和基本性质3,一般是用基本性质1找到,再用基本性质3证明. 2.还要注意:(1)在平面几何中,凡是所引的辅助线都要画成虚线. (2)在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成实线.在学习时,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的形成,不利于空间想象力的培养.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对点、线、面的位置关系考虑不全而致误 【典例】 在空间四点中,如果任意三点都不共线,那么由这四点可以确定多少个平面?说明理由. 错解在因为不共线的三点确定一个平面,所以由题设条件中的四点可确定四个平面. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范? 提示:错解考虑的不全面,仅考虑了四个点不共面的情况.而遗漏了四点共面的情形.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,正解:空间任意三点都不共线的四个点有两种位置关系: 第一种,当由其中任意不共线的三点所确定的平面都过第四个点时,由这四个点只能确定一个平面; 第二种,当由其中任意不共线的三点所确定的平面都不过第四个点时,由这四个点可确定四个平面. 综上所述,由题设条件中的四点可确定一个或四个平面. 防范措施1.对于确定平面个数问题,在讨论中要考虑全
