(广东专用)2018年高考数学 第十一章 第二节 证明不等式的基本方法课件 理 新人教a版

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1、第二节 证明不等式的基本方法,1.三个正数的算术几何平均值不等式 (1)如果a,b,cR+,那么a3+b3+c3_3abc,当且仅当_ 时,等号成立. (2)如果a,b,c_,那么 _ 当且仅当_ 时,等号成立. 即:三个正数的算术平均值_它们的几何平均值.,a=b=c,R+,a=b=c,不小于,(3)对于n个正数a1,a2,,an,它们的算术平均值_它们 的几何平均值,即 _ 当且仅当 _时,等号成立.,不小于,a1=a2=an,2.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有作差比较法和作商比较法两种.,a-b0,a-b0,ab,3.综合法与分析法 (1)综合法: 一般地,从_出发,利用_、

2、公理、_、性质 等,经过一系列的_、_而得出命题成立,这种证明方 法叫做综合法.综合法又叫_或由因导果法.,已知条件,定义,定理,推理,论证,顺推证法,(2)分析法: 证明命题时,从_出发,逐步寻求使它成立的_ _,直至所需条件为_或_(定 义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成 立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证 明方法.,要证的结论,条件,已知条件,一个明显成立的事实,充分,4.反证法 (1)假设要证的命题_,以此为出发点,结合已知条件, 应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和 _(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛 盾的结论,以说

3、明假设不正确,从而证明_,我们 把它称为反证法. (2)证明步骤:反设归谬肯定原结论.,不成立,命题的条件,原命题成立,5.放缩法 (1)证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值_或 _,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法 称为放缩法. (2)理论依据ab,bca_c.,放大,缩小,判断下面结论是否正确(请在括号内打“”或“”). (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,最后达到待证的结论.( ) (3)分析法又叫递推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的必要条件,最后达到

4、题设的已知条件或已被证明的事实.( ),(4)使用反证法时,“反设”不能作为推理的条件应用.( ) (5)放缩法就是把分式的分子放大,分母缩小.( ),【解析】(1)错误.当使用作商比较法时要判断与1的大小关系才能得出结论. (2)正确.根据综合法的定义可得结论正确. (3)错误.根据分析法的定义,应把“必要条件”改为“充分条件”才是正确的结论. (4)错误.根据反证法的定义,“反设”能作为已知条件充分使用. (5)错误.不符合放缩法的定义. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则s与t的大小关系是( ) (A)st (B)st (C)st (D

5、)st 【解析】选A.s-t=(a+b2+1)-(a+2b)=b2-2b+1= (b-1)20,st.,2.若abc,则一定成立的不等式是( ) (A)a|c|b|c| (B)abac (C)a-|c|b-|c| (D) 【解析】选C.当c=0时,选项A不成立;当ab,选项C成立.,3.已知0a,b1,用反证法证明a(1-b),b(1-a)不能都大于 时,反设正确的是( ) (A)a(1-b),b(1-a)都大于 (B)a(1-b),b(1-a)都小于 (C)a(1-b),b(1-a)都大于或等于 (D)a(1-b),b(1-a)都小于或等于 【解析】选A.“不能都大于”的否定是“都大于”.,

6、4.若x0,y0, 则P,Q的大小关系 是( ) (A)P=Q (B)PQ 【解析】选B. 即PQ.,5.函数f(x)=3x+ (x0)的最小值为_. 【解析】 当且仅当 即x=2时等号成立. 答案:9,考向 1 用比较法证明不等式 【典例1】(1)(2013荆门模拟)已知p=x6+1,q=x4+x2,xR,则 有( ) (A)pq (B)pq (C)pq (D)pq (2)(2013咸宁模拟)已知0a ,且 则M,N的大小关系是_.,(3)求证:当xR时,1+2x42x3+x2; 当a,b(0,+)时,aabb 【思路点拨】(1)用作差比较法判断证明.(2)可用作差比较法,也可用作商比较法.

7、(3)第小题的不等式为一元型的整式不等式,可以考虑采用作差比较法;而第小题是幂指型的不等式,可考虑采用作商比较法.,【规范解答】(1)选A.p-q=(x6+1)-(x4+x2) =x6-x4-x2+1 =x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1) =(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x2-1)2(x2+1), 当x=1时,p=q; 当x1时,pq,pq,故选A.,(2)方法一:M-N= 由已知a0,b0且ab1,1-ab0,即MN. 方法二: 00,N0,MN. 答案:MN,(3)方法一:(1+2x4)-(2x3+x2) =2x3(x-1)-(x+1)(x-1) =(x-

8、1)(2x3-x-1) =(x-1)(2x3-2x+x-1) =(x-1)2x(x2-1)+(x-1) =(x-1)2(2x2+2x+1) =(x-1)22(x+ )2+ 0, 1+2x42x3+x2.,方法二:(1+2x4)-(2x3+x2) =x4-2x3+x2+x4-2x2+1 =(x-1)2x2+(x2-1)20, 1+2x42x3+x2., 当a=b时, 当ab0时, 1, 0, 当ba0时, 0 1, 0, ,【互动探究】保持例(3)第小题的条件不变. 若a0, 即(a2+b2)(a-b)(a2-b2)(a+b). 答案:(a2+b2)(a-b)(a2-b2)(a+b), 当a=b

9、时, 当ab0时,0a0时, 1, ,【拓展提升】 1.作差比较法 (1)作差比较法证明不等式的一般步骤 作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差; 变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若干个因式的积,或配方变形为一个或几个平方和等; 判号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号;,结论:肯定不等式成立的结论. (2)作差比较法的应用范围 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法.,2.作商比较法 (1)作商比较法证明不等式的一般步骤 作商:将不等式左右两边的式子,进行作商; 变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,

10、分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为容易和1比较大小的形式;,判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1; 结论. (2)作商比较法的应用范围 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法. 【提醒】在使用作商比较法时,要注意说明分母的符号.,【变式备选】(1)求证:(x+1)(x2+ +1)(x+ )(x2+x+1). 【证明】因为(x+1)(x2+ +1) =(x+1)(x2+x+1- ) =(x+1)(x2+x+1)- (x+1), (x+ )(x2+x+1) =(x+1- )(x2+x+1) =(x+1)(x2+x+1)- (

11、x2+x+1).,作差得(x+1)(x2+ +1)-(x+ )(x2+x+1) =(x+1)(x2+x+1)- (x+1)-(x+1)(x2+x+1)+ (x2+x+1) = (x2+x+1)- (x2+x)= 0, (x+1)(x2+ +1)(x+ )(x2+x+1).,(2)设ab0,求证: 【证明】方法一:ab0, 左边-右边= 故原不等式成立.,方法二: 且由ab0,知 ,考向 2 用综合法证明不等式 【典例2】已知a,b,c0且互不相等,abc=1.试证明: 【思路点拨】本题可用abc=1代换 中的a,b,c,然后 利用基本不等式证明或者利用基本不等式从右向左证明.,【规范解答】方法

12、一:a,b,c0,且互不相等,abc=1, 方法二:,以上三式相加,得 又a,b,c互不相等, 方法三:a,b,c是互不相等的正数,且abc=1, ,【拓展提升】综合法证明时常用的不等式 (1)a20. (2)|a|0. (3)a2+b22ab,它的变形形式有 a2+b22|ab|;a2+b2-2ab;(a+b)24ab; a2+b2 (a+b)2;,(4) 它的变形形式有 (5)(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.,【变式训练】(1)(2013黄冈模拟)函数f(x)= g(x)= (x0),则f(x)与g(x)的大小关系是( ) (A)f(x)g(x) (B)f(x)g(x) (C

13、)f(x)g(x) (D)f(x)g(x),【解析】选A.f(x)= =(x-2)+ +2, x2,x-20,(x-2)+ 2,当且仅当x=3时等号成 立,f(x)4. 又x0,x2-2-2, g(x)= g(x).,(2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求证: abc 9; ab+bc+ca ,【证明】由已知得1=a+b+c abc( )3= a+b+c=1, 当且仅当a=b=c= 时取等号, 9.,a+b+c=1, a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1(*) 又a2+b2+c2= (a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)ab+bc+ca, (*)式变为1ab+bc+c

14、a+2(ab+bc+ca), 即ab+bc+ca,a0,b0,c0,a+b b+c c+a 三式相加得2(a+b+c) 两边同加a+b+c得3(a+b+c)a+b+c+ 又a+b+c=1,3 ,考向 3 用分析法证明不等式 【典例3】(2013十堰模拟)设a,b,c0,且ab+bc+ca=1. 求证:(1)a+b+c (2) 【思路点拨】(1)不好直接用比较法和综合法,可选择用分析法证明.(2)先将不等式左边通分变形后利用分析法证明,注意使用(1)中已证得的结论.,【规范解答】(1)要证a+b+c 由于a,b,c0, 因此只需证明(a+b+c)23. 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3, 而ab+bc+ca=1, 故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca).,即证:a2+b2+c2ab+bc+ca. 而这可以由ab+bc+ca =a2+b2+c2 (当且仅当a=b=c时等号成立)证得. 原不等式成立. (2) 在(1)中已证a+b+c,因此要证原不等式成立, 只需证明 即证 即证 而 ab+bc+ca(当且仅当a=b=c= 时等号 成立). 原不等式成立.,【拓展提升】 1.用分析法证“若A则B”这个命题的模式 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有 只需证明命题B2为真,从而有 只需证明命题A为

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