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1、课时作业(二十一)用向量方法解决平行与垂直问题A组基础巩固1若n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0，3,1)B(2,0,1)C(2，3,1) D(2,3，1)解析：问题即求与n共线的一个向量即n(2，3，1)(2,3，1)答案：D2已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()A3 B6C9 D9解析：l，v与平面平行，uv，即uv0，1332z10，z9.答案：C3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是()A(1,1，1) B(1，1,1)C(
2、1,1,1) D(1，1，1)解析：(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y1，z1.故平面ABC的一个法向量是(1，1，1)答案：D4在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)(1)(1)010，CEBD.答案：B5若两个不同平面，的法向量分别为u(
3、1,2，1)，v(3，6,3)，则()ABC，相交但不垂直 D以上均不正确解析：v3u，.答案：A6已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则等于()A. B.C. D.解析：由0得352z0，z4.又平面ABC，即解得答案：C7已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析：由于12(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以正确答案：8在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx1,2cos2x2,0)和点Q(cosx，1,3)
4、，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_解析：由OPOQ，得0.即(2cosx1)cosx(2cos2x2)(1)0.cosx0或cosx.x0，x或x.答案：或9如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE面B1DE，则AE_.解析：建立如图所示的坐标系，则B1(0,0,3a)，D，C(0，a,0)设E(a,0，z)(0z3a)，则(a，a，z)，(a,0，z3a)由题意得2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或2a.答案：a或2a10如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在
5、的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系设ACBDN，连接NE，则点N，E的坐标分别是，(0,0,1)，.又点A，M的坐标分别是(，0)，.，且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知，D(，0,0)，F(，1)，(0，1)0.同理.又DFBFF，AM平面BDF.B组能力提升11直线l的方向向量为a，平面内两共点向量，下列关系中能表示l的是()Aa BakCap D以上均不能解析：A、B、C均能表示l或l.答案：D12如图，已知矩形ABCD，AB
6、1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)设Q(1，x,0)(0xa)P(0,0，z)则(1，x，z)，(1，ax,0)由PQQD，得1x(ax)0，即x2ax10.由题意知方程x2ax10只一解a240，a2，这时x10，a答案：213如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PA平面ABCD，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21.在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论解析：存在证明如下：当F是棱PC的中点时，BF平面AEC.()()()，共面又BF平面
7、AEC，BF平面AEC.14如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.(1,1，1)，设F(x，y，z)，则(x，y，z1)，.，x0，即xyz0.又，可设，x，y，z1.由可知，x，y，z，.(1)设n1(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有取z11，则n1(1,1，1
8、)(1,0，1)，n10.又PA平面EDB，PA平面EDB.(2)设n2(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有取z21，则n2(1，1,1)n2，PB平面EFD.15如图所示，直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.(1)求证：AC平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论解：(1)证明：以A为坐标原点，AD，AB，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，ADCD1，AB2，D(1,0,0)，B(0,2,0)设AA1a，则A1(0,0，a)，B1(
9、0,2，a)，C1(1,1，a)，C(1,1,0)(1,1,0)，(1，1,0)，(0,0，a)，1100，0000，ACBC，ACBB1，又BCBB1B，AC平面BB1C1C.(2)点P存在，证明如下，假设存在一点P(0，y，a)，则(1，y，a)由(1)知，平面BCB1的法向量为.(1，y，a)(1,1,0)1y.又DP平面BCB1，0，y1.设n(x，y，z)为平面ACB1的一个法向量，n0，n0，又(1,1，a)，n为.DP平面ACB1，n，n(1)(y)yyay2y0，y0(舍去)或y1，这与0时相一致，故假设成立存在一点P，且P为A1B1中点，使DP与平面BCB1和平面ACB1都平行- 8 -
