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1、引 论 章 畅 代数问题的特点 , 代数学研究的对象与特点 畅 域 、 环 、 群(半群)的定义与相互联系 畅 群 、 环 、 域的基本运算性质 : 消去律(加法与乘法)及零因子 、单位元(零 元)和逆元(负元)的唯一性 、 广义结合律 、 方幂和倍数 畅 一般域上关于多项式理论 、 线性方程组理论 、 线性空间与线性变换的理 论的定理 畅 引论章 的设置是体现总导引中第 点思想 畅 引论章的 是贯彻总导引中第三点思想 本教材主要讲群 、 环 、 域三个 运算系统 本章第一节初步体现了研究代数运算系统的必要性 而 中从人们 熟悉的数域 , 整数环等例子为背景先引入一般域和环的定义 然后才引入只
2、有一 个运算的系统 : 群(半群) 研究它们的基本性质时发现群是更基本的运算系统 这样在后面几章中就是先讲群 , 后讲域 、 环 于是群中的一些运算性质 , 如剩余类 (陪集) , 商群 , 同态定理等都能在讲域 、 环时应用 这种次序安排下 , 逻辑关系清 楚 , 且数学处理上可以简便些 、 而 中先按域 、 环 、 群次序引入定义却是更适合 人们的认知顺序 畅 最后的定理非常重要 其一是引入一般域这种运算系统就是为了能 应用这个定理 其二 , 在本教材的开始就引入这个定理是为了使本教材的结构比 以前教材有较大的变化 以前教材在群论一章之后必须以很大篇幅讲环 , 主要是 讲因式分解唯一性定理
3、 这几乎成了以前师范院校近世代数课程的主要部分 而 更有应用更有兴趣的域论部分就无法讲授 我们的处理可以在本教材的第二 、 三 章大量地讲域(特别是有限域)及其应用 而环只作为铺垫 , 占很少部分 其中用 到的多项式及线性空间的性质全可由上面所述的定理所提供 这种处理使本教 材的面貌焕然一新 1 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 畅 在一般域上叙述和证明除法算式(带余除法)成立 畅 一般域上非常数多项式都是一些不可约多项式的乘积 畅 设 ax ax a nxn b ax ax a nxn b asx asx asnxn bs 是域 F 上的线性方程组 试给出“这个方程
4、组是相关或无关的” , “这个方程组的 极大无关部分组”的定义 证明这个方程组与它的极大无关部分组同解 以下各题中有 倡 者为必作题 , 其余为选作题 倡 畅 判断下列哪些是集合 A 上的代数运算 () A 所有实数 ,A 上的除法 () A 是平面上全部向量 , 用实数和 A 中向量作数量乘法(倍数) () A 是空间全部向量 ,A 中向量的向量积(或外积 , 叉乘) () A 所有实数 ,A 上的一个二元实函数 倡 畅 给定集合 F , , 定义 F上两个代数运算加法和乘法 , 用下面的加 法表 , 乘法表来表示 : 烫 创 垐烫 垐烫 p创 p创 例如 , , 在加法表中 号下的 所在的
5、行与 号右边的 所在的列相交 处的元就是 ; , 在乘法表中 号下的 所在的行与 号右边的 所在 的列相交处的元是 试验证上述加法 、 乘法都有交换律 、 结合律 , 且乘法对于加法有分配律 倡 畅 设 R 是环 证明下述性质 :橙 a , b , c R , () a b a , 则 b , a() (a b) ( a) b , () (a b) ( a) b ,() a b c , 则 a c b , 2 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m () a ,() (ab) ( a)b a( b) , () ( a)( b) ab() a(b c) ab ac 畅 R 是
6、环 ,a,a, ,am, b,b, , bn R , 则 m i ai n j bj m i n j aibj 倡 畅 R 是环 , 验证 : 对所有非负整数 m ,n ,橙 a , b R , 有 am n aman, (am)n amn 若 a , b 交换 , 则(ab)m ambm 倡 畅 R 是环 ,a ,b R ,a , b 交换 , 证明二项定理 : (a b)n an n an b n k an kbk bn, 其中 n k C k n n(n ) (n k ) k 畅 R 是环 ,a,a, ,am R , 分别有乘法逆元素 a , ,a m, 则 a am 的逆元素为 a m
7、a m a a 若 a, ,am两两交换 , 则 aa am有逆元素 的充要条件是 a, ,am皆有逆元素 畅 R 是环 ,a ,b R 证明 c( ab) ( ab)c 痴 ( ba)d d( ba) , 其中 d bca 即若 ab 在 R 内可逆 , 则 ba 也可逆 元素 adb 等于 什么 ? 畅 Mn(F)为域 F 上全体 n n 阵作成的环 ,n 举出其中零因子的 例子 畅 () 否 , ()否 , ()是 , ()是 畅 证明 由于 a b 和 b a ,a (b c)和(a b) c 中 , 出现的次数 分别相同 , 它们的和就分别相等 , 故 F中加法交换律和结合律成立 由
8、于 ab 和ba ,a(bc)和(ab)c 中如有 出现 , 其积为零 , 否则其积为 , 故这 两对积分别相等 , 于是 F中乘法交换律和结合律成立 对 a(b c)和 ab ac , 若 a , 这两式子都为零 ; 若 a , 这两式子都为 b c , 对这两种情形两式子都相等 , 故 F中乘法对加法的分配律成立 畅 () 对 a b a a 用加法消去律 , 得 b () 由于( a) b a b ( a) b (a b) ( a) a , 3 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 由负元的定义知( a) b (a b) () 在()中将 b 换为 b , 就得 (
9、a b) ( a) b () 对 a b c 两边加上 b , 左边 (a b) b a , 右边 c b , 故 a c b () a a a a a( ) a 用加法消去律得 a () ( a)b ab ( a a)b b , 故 ab ( a)b 将上式 a , b 互 换就得 ab a( b) () ( a)( b) (a( b) ( ab) ab () a(b c) a(b ( c) ab a( c) ab ac 畅 m i ai n j bj (a am) n j bj a n j bj am n j bj n j abj n j ambj m i n j aibj 畅 分几种情形
10、 (i) m n , 但 m ,n 不为零 , 不妨设 m 为正整数 ama m为 m 个 a 及 m 个 a 的乘积 , 由广义结合律知 ama m a am ( m) (ii) 若 m ,n 中有零 , 不妨设 m , 则左边 a n an aan 右边 (iii) m ,n 皆为正整数 , 则 am n与 aman皆为 m n 个 a 的积 , 由广义结合 律知它们相等 若 m ,n 皆为负整数 , 则 am n与 aman皆为 (m n)个 a 的乘积 , 由广 义结合律知它们相等 (iv) m ,n 中有正有负 , 且 m n , 不妨设 m 与 m n 为异号 则由(iii) am
11、 na m a(m n) m an, 两边再乘上(a m ) am(参看(i) , 则 am n aman 以上已证明了 am n aman及(am) a m 再由 amn am m m n个 am am n个 (am)n, 当 n ; amn 怂 a( m)( n) a m m ( n)个 a m a m ( n)个 (am) (am) ( n)个 (am)n, 当 n ; 又 am (am) 这就证明了 amn (am)n 若 a ,b 交换 , 当 m 时 , 显然有 ambm (ab)m 当 m 为正整数时 ,ambm 与(ab)m都是 m 个 a ,m 个 b 的乘积 , 由广义结合
12、律知它们相等 , 当 m 为负整 数时 ,a mb m (ab) m , 即(am) (bm) (ab)m) 左边又是(ambm) , 4 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 故 ambm (ab)m 畅 参照中学数学中对二项定理的证明 畅 由(aa am)(a ma m a a ) aa am ama ma m a , 故(aa am) a m a a 对第个问题 , 上面一段正是证明了它的充分性 再证必要性 设 aa am u , 则任 i ,ai(a ai ai amu) , 故每个 ai有逆元素 畅 ( ba)d ( ba)( bca) ba bca babca ba b( ab)ca ba ba , d( ba) ( bca)( ba) ba bca bcaba , ba bc( ab)a ba ba 即 ba 在 R 内也可逆 又由 c( ab) ( ab)c , 得 cab abc c 故 adb换 a( bc