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1、解三角形单元教学设计甘肃省民勤县第四中学 白茂军 13893532527【数学分析】解三角形一章是在初中“解直角三角形”和前面的“向量”相关内容基础上构建起来的，定理本身的应用十分广泛。解三角形是三角函数知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是将生产、生活实际问题转化为解三角形计算问题的重要工具，具有广泛的应用价值。解三角形问题和大量需要用解三角形为工具的实际问题的存在，以及数学本身和实际问题都在促使正弦定理，余弦定理的产生。在实际工作中经常遇到很多测量问题，如：在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；测量底部不可到达的建筑物的高度；在水平飞行中的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度；测量海上航行
2、的轮船航速和航向等。本章知识的介绍将很好的解决这些问题，从而提高学生解决实际问题的能力。【教育分析】解三角形一章的教育价值主要体现在：1.正弦、余弦定理的证明，培养了学生实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。2.体现数学与经济、生活等现实世界的联系，培养和发展学生利用解三角形的知识解决身边实际问题的能力。在解三角形的应用中，关键是把实际问题转化成数学问题，这种转化对于实际问题的解决是非常重要的，通过本章知识的学习，将进一步提高学生的数学建模能力。3.有利于关注数学知识的来龙去脉，解三角形问题
3、是现实的要求，数学本身和实际问题都在促进正弦定理和余弦定理的产生，应用定理解决三角形的边角关系的度量，为学生今后实际工作储备了知识能力。【课标分析】新课程改革中，新普通高中数学课程标准（以下简称标准）对“解三角形”的教学要求是：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，标准在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，侧重点放在学生探究和推理能力的培养上，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定
4、理、余弦定理”。标准更关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【学情分析】本章内容的授课对象为高二级学生。本章之前，学生已经学习了三角函数、向量等基本知识，学生已有一定的知识储备，对观察分析、解决问题的能力有了一定的培养，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，应用数学知识的意识不强，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，因此思维灵活性受到制约，学生学习方面有一定困难。根据这些特点，我采用与新课标要求相一致的新的教学方式，即活动式的教学法和任务型教学法相结合的方法，调动全班学生的积极性，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦，在师生
5、互动、生生互动中实现教学任务和目标。【思想与方法】1.函数与方程的思想 即：将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系。2. 从特殊到一般的化归思想 正、余弦定理的证明，从分析特殊三角形的边角关系入手，猜想这种关系也适用于一般三角形，从而发现了正、余弦定理。【教法分析】本单元的重点是综合应用正弦定理、余弦定理，难点是运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。为了突破难点，教学中采用对比研究的方法，“启发、引导、类比”相结合，让学生经历一个“实验、探索、归纳”的科学教学过程，体现从特殊到一般的认识规律，通过学生“动手、动脑、讨论、演练”，增
6、加学生的参与机会，增强参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。【教学基本流程】第一课时,精心铺垫，自然过渡，从学生熟悉的直角三角形出发，引入正弦定理，进而大胆猜想，细心求证，把它推广到任意三角形。正弦定理可以用于两类解三角形的问题，通过例1加以说明，突破本节教学重点，例2学习是培养学生公式变式应用能力，突破本节教学难点，最后通过练习加以巩固。第二课时, 从生活需要出发，提出探索性问题“如何从量化的角度研究三角形已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”。从而“设疑探究解答”， 在证明了余弦定理及其推论以后，进一步分析比较勾股定理与余弦定理的联系
7、与区别。例1、例2学习让学生明白余弦定理及其推论应用范围，进而熟练运用定理解题，完成本节教学重点与难点，最后通过练习加以巩固。第三课时，先复习回顾解三角形中用到的边角知识，正弦定理和余弦定理内容，再进行典型例题分析，例1探讨三角形解的个数问题，例2判定三角形的形状，为了更好的掌握例题，设计了3个小练习，达到巩固的效果，最后课堂小结。第四课时，先复习回顾正弦定理和余弦定理的内容、三角形的面积公式以及在解三角形中涉及到的常用结论，比如内角和定理和诱导公式等，再进行典型例题分析，例1证明恒等式、例2三角形面积定理应用，同时每个例题后设计相应的小练习，以巩固所学知识，最后课堂小结。第五课时，通过实例，
8、分析解决与三角形有关的实际应用问题，并由此归纳总结出从实际问题中抽象出数学问题的基本过程，“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程。让学生对例1、例2进行分析与讨论进一步完善这一过程,突破本单元的教学难点。第六课时, 通过实例，分析解决与三角形有关的实际应用问题，并采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过2道例题的安排和2道练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。【教材分析】一、内容与教学目标本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目
9、标：1.知识目标: 掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形； 通过解三角形培养学生的方程思想、化归思想、函数思想，并培养学生解题的优化意识2.能力目标:通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题3.德育目标: 培养和发展学生数学应用意识，渗透励志教育.二、教学重点、难点重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形；难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题三、内容安排1、课时安排本章教学约需6课时，具
10、体分配如下（仅供参考）：1.1正弦定理和余弦定理（约4课时） 1.2应用举例（约2课时）2、知识结构任意三角形的边角关系正弦定理余弦定理距离问题高度距离角度问题几何计算问题解三角形三角形面积公式：3、主要内容课题: 111正弦定理 教材分析：正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，定理的发现与证明是以前三角函数知识与平面向量在三角形中的综合交汇，是培养学生数学思维品质的重要素材。教学目标：知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引
11、导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程新知探究正弦定理的证明：分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于斜三角形，并通过向量法几何法加以证明。用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用,通过具体例题，使学生体会正弦定理可以用于两类解三角
12、形的问题：(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。（2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.例题分析例1 .在中,已知, , B=450.求A、C和c.解: 且 A有两解.由正弦定理,得 （1）当A=600时,C=1800-A-B=750, （2）当A=1200时,C=1800-A-B=150, 设计意图：例题说明应用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现两解的情形，通过例题分析和讨论使学生明白根据“三角形中大边对大角”来判断多解的情形。练习:（1)求B、C、b. （2) 求B、C、b.
13、设计意图：学会应用方程思想，正确应用正弦定理及其变式解三角形例2：（1）已知ABC中，求（2）2013湖南在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinBb，求角A设计意图： 培养公式变形应用，灵活应用能力； 举一反三，寻求解题多样性，优化解题意识；练习: （1）在ABC中,已知a=2,b=2,B=45,则角A= （2）ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3,C=3,a=2b,则b的值为.设计意图：正确应用正弦定理及其变式解三角形，突破教学难点。小结反思，提高认识1用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。2正弦定理表述了三角形的边与对角的正弦值的关
14、系。3定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。布置作业：课题: 1.1.2余弦定理 教材分析：引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。” 在证明了余弦定理及其推论以后，分析比较勾股定理与余弦定理的联系与区别，指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。教学目标:知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态
15、度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程:新知探究问题：根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.如何从已知的两边和它们的夹角中计算出三角形的另一边和两个角？解这个三角形，需从量化的角度来研究。引导学生先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明，利用向量的数量积就可以比较容易地证明了余弦定理。应用余弦定理，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：（1）已知两边和它们的夹角解三角形；（2）已知三角形的三边解三
