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1、高等数学学习指导书 第四章 不定积分 63 第四章 不定积分 17 世纪最伟大的成就之一就是微积分的创立。数学和科学中的巨大发展， 几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。 需要有一两 个人来走那最高和最后的一步。 这一两个人要能够敏锐地从纷乱的猜测和说明中 清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且足 够大胆地制定一个宏伟的计划。就微积分的创立而言，这一两个人就 是 Newton(牛顿 1642-1727)和 Leibniz（莱布尼兹 1646-1716） Newton 和 Leibniz 平分的对微积分的极端重要的贡献之一是把面积、体积与 其他
2、以前作为和来处理的问题归并到反微分，即我们现在所说的积分。因此，在 17 世纪促使微积分产生的四个主要科学问题速率、切线、最值、求值全部 归结为微分和反微分（积分） 。 Newton 利用导数与它的逆解决了微积分的诸多问题。 Leibniz 第一次表达出求和与微分之间的关系：作为求和的过程的积分是微 分的逆。在他的手稿中第一次采用了积分号“” 。记号“”是“sum” （和） 的第一个字母s的拉长。 不定积分是求导的逆，是讨论给定一个函数，如何寻求一些可导函数，使它 们的导数等于所给定函数。这是积分学的基本问题之一。 一、内容提要 1、 原函数原函数 如果在某区间 I 上可导函数( )F x的导
3、函数为( )f x，即对每一个xI，都有 ( )( )F xf x=或( )( )dF xf x dx=，则称函数( )F x为函数( )f x在该区间I上的一个原 函数。 2 2 2 2、 原函数存在的条件原函数存在的条件 （1）连续函数一定有原函数。 （2）初等函数在其定义区间内都有原函数。 （3）若( )f x在I上有原函数，则必有无数个原函数。 （4）任意两个原函数间只相差一个常数。 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 64 （5）若( )F x是( )f x在区间 I 上的一个原函数， 则( )f x在区间 I 上的全体原函数记 为( )F xC+（C为任意常数） 3、 不定积分不
4、定积分：在区间 I 上，( )f x的所有原函数称为函数( )f x在区间 I 上的不定积分，记 为( )( )f x dxF xC=+ ，其中C为任意常数。 4 4 4 4、 不定积分与微分的关系：不定积分与微分的关系： 先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数。即 （1）( )( )f x dxf x = 或( )( )df xf x dx=； （2）( )( )F x dxF xC=+ 或( )( )dF x dxF xC=+ 5 5 5 5、 不定积分的性质不定积分的性质 （1）两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差） ，即 ( )( )( )( )f xg x
5、dxf x dxg x dx= （2）求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面，即 ( )( )kf x dxkf x dx= （k为常数，0k） 6 6 6 6、 基本积分公式基本积分公式 （1）0dxC= （2）kdxkxC=+ （k为常数） （3） 1 1 (1) 1 x dxxC + =+ + （4） 1 lndxxC x =+ （5） ln x x a a dxC a =+ （6） xx e dxeC=+ （7）cossinxdxxC=+ （8）sincosxdxxC= + （9） 2 2 1 sectan cos dxxdxxC x =+ （10） 2 2 1
6、csccot sin dxxdxxC x = + （11）sectansecxxdxxC=+ （12）csccotcscxxdxxC= + （13） 2 1 arctan 1 dxxC x =+ + （14） 2 1 arcsin 1 dxxC x =+ 7 7 7 7、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法 （1）直接法：直接利用不定积分的性质，基本积分公式求积分，或者对被积函数作恒等变 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 65 形后再利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的方法。 （2）第一类换元法（凑微分法） 设法将被积函数( )f x凑成( ) ( ) ( )f xgxx=，
7、且 ( )gx的原函数容易求出，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dxgxx dxgx dxGxC=+ ， 其中： ( ) ( )Gxgx=。 常用的凑微分公式有： 1 ()() ()(0)f axb dxf axb d axba a +=+ 1 1 ()() ()(0) nnnn f axbxdxf axb d axba a n +=+ （0n） 2 1111 ( )( ) ( )fdxfd xxxx = 1 ()( )2() ()fxd xfx dx x = 1 (ln )(ln ) (ln )fxdxfx dx x = 1 ()() ()(0) axaxaxax
8、f ee dxf ed ea a = (sin ) cos(sin ) (sin )fxxdxfx dx= (cos ) sin(cos ) (cos )fxxdxfx dx= 2 1 (tan )(tan ) (tan ) cos fxdxfx dx x = 2 1 (cot )(cot ) (cot ) sin fxdxfx dx x = 2 1 (arcsin )(arcsin ) (arcsin ) 1 fxdxfx dx x = 2 1 (arccos )(arccos ) (arccos ) 1 fxdxfx dx x = 2 1 (arctan )(arctan ) (arcta
9、n ) 1 fxdxfx dx x = + ( )1 ( ( )ln( ) ( )( ) fx dxd f xf xC f xf x =+ 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 66 （3）第二类换元法 先对积分变量进行换元，简化被积函数的形式，再求积分。 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) xt tx f x dxft dtftt dtF tC FxC = = =+ =+ 其中( )xt=及 ( )t 都连续且 ( )0t 。 常用的几种变量代换有： ）被积函数含有根式 n axb+，令 n taxb=+ ）被积函数含有根式 22 ax，令sin()
10、22 xatt =，求，求( )f x 分析：导函数是对 2 x求导，所以可以先换元，也可以直接对 2 x积分。 解：法一 2 2 2 () ()ln () dfx fxx d x =，则 22 ()ln()df xxd x= 两边对 2 x积分，有 22222 ()()ln()lnlnd f xf xxd xxxx dx= 2222 11 lnln 2 xxxdxxxxC x =+ 则 1 ( )ln 2 f xxxxC=+ 法二 先换元，再积分 2 ()lnfxx=，则 1 ( )lnln 2 fxxx= 两边对x积分，有 111 ( )lnln 22 fx dxxdxxxxdx x =
11、11 ln 22 xxxC=+ 即 11 ( )ln 22 f xxxxC=+ 例例 34343434 曲线过点曲线过点 2 (,3)e，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程。 分析：由导数的几何意义可知， 1 ( )fx x =，则( )f x为( )f x的一个原函数。利用不定积分 求出( )fx的全体原函数，再由曲线过点 2 (,3)e确定积分常数 C，即可求出曲线方程。 解：设所求曲线方程为：( )yf x=，则 1 ( )fx x =。 而 1 ( )( )lnfx dxf xdxxC x =+ 高等数学学
12、习指导书 第四章 不定积分 82 又曲线过点 2 (,3)e，代入 2 3ln1eCC=+=。 故所求的曲线方程为：ln1yx=+ 例例 35353535 设物体的运动速度为设物体的运动速度为cos (/ )vt m s=。当。当 2 t =时，物体所经过的路程为时，物体所经过的路程为10sm=， 求物体的运动规律。求物体的运动规律。 分析：由导数的物理意义可知 ( )( )cosv ts tt =，则( )s t是 ( )s t 的一个原函数。利用不 定积分求出 ( )s t 的全体原函数，再由 2 10 t s = =确定积分常数C。 解：设物体的运动规律为：( )ss t=，则( )(
13、)coss tv tt= ( )cossins ttdttC=+ 又当 2 t =时，10s=。代入10sin 2 C =+，则9C=。 故所求物体运动规律为：( )sin9s tt=+。 四、自测题（A） （一）填空题：（一）填空题： 1、若( )f x的一个原函数是arctanxx+，则( )_f x=； 2、设 2 ( ),f x dxxC=+ 则 2 (1)_x fxdx= ； 高等数学学习指导书 第四章 不定积分 83 3、 3 1_ d xdx dx += ； 4、cos()_ xx eedx= ； 5、设( ), x f xe=则 (ln ) _ fx dx x = 。 （二）选
14、择题（二）选择题 1、 42 1 ( ) 2 f x dxxxC=+ ，则( )()f x=； A） 3 22xxB） 3 22xxC+C） 3 xxC） 4 2xx 2、设 x e是( )f x的一个原函数，则( )()xf x dx= A）(1) x exC+B）(1) x exC+C）(1) x exC+D）(1) x exC+ 3、若 2 () xx fedxeC =+ ，则( )()f x= A） 1 2 x eC+B） 2x eC+C） 3 2 3 xC+D） 4 4 3 xC+ 4、若( )( )f x dxF xC=+ ，则()() xx ef edx = A）() x F e
15、C+B）() x F eC +C）() x F eC +D） () x F e C x + 5、设( )f x具有连续的导数，则( )( )()x fxf x dx+= A）( )xf xC+B）( )xfxC+C）( )xfxC+D）( )xf xC+ （三）计算题（三）计算题 1、 2 3lnxx edx + 2、 4 1 cos dx x 3、 2 arctan 1 xx dx x + + 4、 3 3 () x dx xxx+ 5、 3 2 2 1 (4) dx x 6、 2 (1) x xe dx 7、ln(1)xxdx 8、cos 2 x x edx 9、arctanxdx 10、 2 2 8 (1) xx dx x x + （四）应用题（四）应用题 1、一曲线通过
