《(浙江通用)2018版高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和课件》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(浙江通用)2018版高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和课件(77页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、,第五章 数 列,5.2 等差数列及其前n项和,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,高频小考点,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是 .,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一,个常数,公差,d,ana1,(n1)d,知识梳理,1,答案,3.等差中项 如果 ,那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:anam (n,mN*). (2
2、)若an为等差数列,且klmn(k,l,m,nN*),则 . (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为 . (4)若an,bn是等差数列,则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为 的等差数列.,(nm)d,akalam,an,2d,md,答案,大,小,答案,1.已知an为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和,则 (1)相隔等距离的项组成的数列是等差数列,即ak,akm,ak2m,仍是等差数列,公差为md(k,mN*). (2)Sn,S2nSn,S3nS2n,也成等差数列,公差为n2d.,知识拓展
3、,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( ) (2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an1anan2. ( ) (3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ) (4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (5)数列an满足an1ann,则数列an是等差数列.( ) (6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.( ),思考辨析,答案,1.(2015重庆)在等差数列an中,若a24,a42,则a6等于( ) A.1
4、B.0 C.1 D.6 解析 由等差数列的性质,得a62a4a22240,选B.,B,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前6项均为正数,从第7项起为负数,则它的公差为( ) A.2 B.3 C.4 D.6,又d为整数,所以d4.,C,解析答案,1,2,3,4,5,3.在等差数列an中,已知a4a816,则该数列前11项和S11等于( ) A.58 B.88 C.143 D.176,B,解析答案,1,2,3,4,5,4.若等差数列an满足a7a8a90,a7a100,则当n_时,an的前n项和最大. 解析 因为数列an是等差数列,且a7a8
5、a93a80, 所以a80. 又a7a10a8a90,所以a90. 故当n8时,其前n项和最大.,8,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知递增的等差数列an的首项a11,且a1,a2,a4成等比数列,则数列an的通项公式为_;则a2a5a8a3n1a3n8的表达式为_.,解析答案,1,2,3,4,5,返回,即(1d)21(13d),解得d0或d1. 等差数列an是递增数列, d0舍去.故d1.,解析 设等差数列an的公差为d. a1,a2,a4成等比数列,,故数列an的通项公式为an1(n1)1n. 数列a3n1的公差为d3d3,,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,C,
6、等差数列基本量的运算,题型一,解析答案,(2)已知在等差数列an中,a27,a415,则前10项和S10等于( ) A.100 B.210 C.380 D.400 解析 因为a27,a415,所以d4,a13,,B,解析答案,思维升华,(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.,思维升华,(1)(2015课标全国)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1a3a53,则S5等于( ) A.5 B.7 C.9 D.
7、11 解析 an为等差数列,a1a52a3, a1a3a53a33,得a31,,A,跟踪训练1,解析答案,数列an的公差为2.,C,解析答案,等差数列的判定与证明,题型二,解析答案,(2)求数列an中的最大项和最小项,并说明理由.,所以当n3时,an取得最小值1,当n4时,an取得最大值3.,解析答案,引申探究,解析答案,思维升华,等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an1anan2后,可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1,根据定义得出数列an为等差数列. (3)通项公式法:
8、得出anpnq后,得an1anp对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列an为等差数列. (4)前n项和公式法:得出SnAn2Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列an为等差数列.,思维升华,(1)若an是公差为1的等差数列,则a2n12a2n是( ) A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 D.公差为9的等差数列 解析 a2n12a2n(a2n32a2n2) (a2n1a2n3)2(a2na2n2) 2226, a2n12a2n是公差为6的等差数列.,C,跟踪训练25,解析答案,解析答案,答案 A,命题点1 等差数列的性质 例3 (1)(2
9、015广东)在等差数列an中,若a3a4a5a6a725,则a2a8_. 解析 因为an是等差数列, 所以a3a7a4a6a2a82a5,a3a4a5a6a75a525, 即a55,a2a82a510.,10,等差数列的性质及应用,题型三,解析答案,(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1010,S2030,则S30_. 解析 S10,S20S10,S30S20成等差数列,且S1010,S2030,S20S1020, S30301021030,S3060.,60,解析答案,命题点2 等差数列前n项和的最值 例4 在等差数列an中,已知a120,前n项和为Sn,且S10S15,求当n取何值
10、时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.,解析答案,解 a120,S10S15,,得a130. 即当n12时,an0,n14时,an0. 当n12或13时,Sn取得最大值,,解析答案,130.,nN*, 当n12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12S13130. 方法三 由S10S15得a11a12a13a14a150. 5a130,即a130. 当n12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12S13130.,例4中,若条件“a120”改为a120,其他条件不变,求当n取何值时,Sn取得最小值,并求出最小值. 解 由S10S15,得a11a12a13a14a150, a130.又a120,a
11、120, 当n12或13时,Sn取得最小值,,引申探究,解析答案,思维升华,思维升华,(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5a74,a6a82,则当Sn取最大值时,n的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 依题意得2a64,2a72,a620,a710; 又数列an是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n6,选B.,B,跟踪训练3,解析答案,(2)设数列an是公差d0的等差数列,Sn为前n项和,若S65a110d,则Sn取最大值时,n的值为( ) A.5 B.6 C.5或6 D.11 解析 由题意得S66a115d5a1
12、10d, 所以a60,故当n5或6时,Sn最大,选C.,C,解析答案,(3)已知等差数列an的首项a120,公差d2,则前n项和Sn的最大值为_. 解析 因为等差数列an的首项a120,公差d2,代入求和公式得,,又因为nN*,所以n10或n11时,Sn取得最大值,最大值为110.,110,解析答案,返回,高频小考点,典例 (1)在等差数列an中,2(a1a3a5)3(a7a9)54,则此数列前10项的和S10等于( ) A.45 B.60 C.75 D.90 (2)在等差数列an中,S10100,S10010,则S110_. (3)等差数列an中,已知a50,a4a70,则an的前n项和Sn
13、的最大值为( ) A.S4 B.S5 C.S6 D.S7,高频小考点,5.等差数列的前n项和及其最值,思维点拨,解析答案,返回,温馨提醒,思维点拨 (1)求等差数列前n项和,可以通过求解基本量a1,d,代入前n项和公式计算,也可以利用等差数列的性质:a1ana2an1; (2)求等差数列前n项和的最值,可以将Sn化为关于n的二次函数,求二次函数的最值,也可以观察等差数列的符号变化趋势,找最后的非负项或非正项.,解析答案,解析 (1)由题意得a3a89,,(2)方法一 设数列an的公差为d,首项为a1,,解析答案,所以a11a1002,,所以Sn的最大值为S5.,答案 (1)A (2)110 (
14、3)B,温馨提醒,(1)利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时,要注意到nN*. (2)利用等差数列的性质求Sn,突出了整体思想,减少了运算量.,温馨提醒,返回,思想方法 感悟提高,1.在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于a1,d的方程组进行求解. 2.证明等差数列要用定义;另外还可以用等差中项法,通项公式法,前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列. 3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量. 4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a,ad,a2d;(2)ad,a,ad;(3)ad,ad,a3d等,可视具体情况而定.,方法与技巧,1.当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数,当公差d0时,an为常数. 2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析