《2019江苏高考数学二轮课件：第22讲 三角函数应用题 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019江苏高考数学二轮课件：第22讲 三角函数应用题 （35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第22讲 三角函数应用题,第22讲 三角函数应用题 1.如图,某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园,已知A为1 20, AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆. (1)若AP+AQ=200米,如何使得三角形地块APQ面积最大? (2)已知竹篱笆长50 米,AP段围墙高1米,AQ段围墙高2米,造价均为每平方 米100元,求围墙总造价的取值范围.,解析 (1)设AP=x米,则AQ=(200-x)米, 所以SAPQ= x(200-x)sin 120 =2 500 (米2), 当且仅当x=200-x时取等号,即AP=AQ=100 (米), Smax
2、=2 500 (米2). (2)由 = = ,得 AP=100sinAQP,AQ=100sinAPQ, 故围墙总造价y=100(AP+2AQ)=10 000(sinAQP+2sinAPQ)=10 000 cos AQP,因为0AQP , cosAQP , 所以y(5 000 ,10 000 ). 答:围墙总造价的取值范围为5 000 10 000 元.,2.如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=20 0 m,斜边AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉 戏,所在位置分别记为点D,E,F. (1)若甲乙都以每分钟100 m的速度
3、从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的 另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲乙两人之间 的距离; (2)设CEF=,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍,且DEF= ,请将甲 乙之间的距离y表示为的函数,并求甲乙之间的最小距离.,解析 (1)依题意得BD=300 m,BE=100 m, 在ABC中,cos B= = ,B= , 在BDE中,由余弦定理得:,DE2=BD2+BE2-2BDBEcos B=3002+1002-2300100 =70 000,DE=100 . 答:此时甲乙两人之间的距离为100 m. (2)由题意得EF=2DE=2y,BDE=CEF=, 在直角三
4、角形CEF中,CE=EFcosCEF=2ycos , 在BDE中,由正弦定理得 = ,即 = , y= = ,0 , 所以当= 时,y有最小值50 .,答:甲乙之间的最小距离为50 m.,题型一 三角函数与解三角形的综合应用题,例1 (2018南京高三第三次模拟)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段 AB,AC和以BC为直径的半圆弧 组成,其中AC为200米,ACBC,A为 .若 在半圆弧 ,线段AC,线段AB上各建一个观赏亭D,E,F,再修两条栈道DE,DF, 使DEAB,DFAC. 记CBD= . (1)试用表示BD的长; (2)试确定点E的位置,使两条栈道长度之和最大.,解析 (1)连
5、接DC. 在ABC中,AC=200米,ACBC,A= , 所以CBA= ,AB=400米,BC=200 米. 因为BC为直径,所以BDC= , 所以BD=BC cos =200 cos 米. (2)在BDF中,DBF=+ ,BFD= , BD=200 cos ,所以 = = , 所以DF=400cos sin , BF=400cos2,所以DE=AF=400-400 cos2, 所以DE+DF=400-400cos2+400cos sin = sin 2-cos 2+3=200sin +300. 因为 ,所以 2- ,所以当2- = ,即= 时,DE+DF有最大值500,此时E与C重合. 答:
6、当E与C重合时,两条栈道长度之和最大.,【核心归纳】 解三角形的实际应用题一般引进“角变量”,利用正弦定 理、余弦定理建立目标函数,再利用公式化简目标函数,最后结合三角函数的 图象求解最值.,1-1 (2018江苏如皋高三调研)在某城市街道一侧l1的某处安装路灯,路宽OD 为12 米,灯杆AB长4米,且与灯柱OA成120角,路灯采用可旋转灯口方向的 锥形灯罩,灯罩轴线BC与灯的边缘光线(如图BM,BN)都成30角,当灯罩轴线 BC与灯杆AB垂直时,灯罩轴线正好通过OD的中点. (1)求灯柱OA的高h; (2)设ABC=,且 ,求灯所照射路面宽度MN的最小值.,解析 (1)连接AC,设ACO=,
7、则ACB=60-, 在RtACO中,AC= = , 在直角ACB中,AC= = , 则有 = ,解得tan = , 在RtACO中,AO=ONtan =6 =10. 故灯柱OA的高h为10米. (2)以O为坐标原点,ON,OA分别为x,y轴,建立直角坐标系,则A(0,10),B(2 ,12),D(12 ,0),ABC= . 若ABC= ,由(1)知,MN=8 ; 若ABC= , 则直线BM的方程为y=(x-2 )tan +12, 则xM=- +2 0, 直线BN的方程为y=(x-2 )tan +12,则xN=- +2 12 ,所以MN=xN-xM=12 =12 = = , 又ABC= 时,所以
8、当= 时,MN取最小值12-12 . 综合知,当= 时,MN取最小值12 -12.,题型二 三角函数与导数的综合应用题,例2 (2018江苏,17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆 弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为 矩形ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在 圆弧上.设OC与MN所成的角为. (1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积,并确定sin 的取值范围; (2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的
9、 单位面积年产值之比为43.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产 值最大.,解析 (1)设PO的延长线交MN于H,则PHMN,所以OH=10米. 过O作OEBC于E,则OEMN,所以COE=, 故OE=40cos 米,EC=40sin 米, 则矩形ABCD的面积为240cos (40sin +10),=800(4sin cos +cos )平方米, CDP的面积为 240cos (40-40sin )=1 600(cos -sin cos )平方米. 过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10米. 令GOK=0,则sin 0= ,0 . 当 时,才能作出满足条件的
10、矩形ABCD, 所以sin 的取值范围是 . 答:矩形ABCD的面积为800(4sin cos +cos )平方米,CDP的面积为1 600,(cos -sin cos )平方米,sin 的取值范围是 . (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43, 所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k0). 则年总产值为4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 000k (sin cos +cos ), . 设f()=sin cos +cos , . 则f ()=cos2-sin2-sin =-(2sin2+sin -1
11、)=-(2sin -1)(sin +1),令f ()=0,得= , 当 时, f ()0,所以f()为增函数; 当 时, f ()0,所以f()为减函数, 因此,当= 时, f()取到最大值. 答:当= 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.,【核心归纳】 引进“角变量”时先利用三角公式、三角函数的定义等建 立目标函数,再对目标函数求导,利用导数与三角函数的单调性、极值与最值 的关系求解最值.,2-1 (2018苏锡常镇四市高三调研)图是一斜拉桥的航拍图,为了分析大桥 的承重情况,研究小组将其抽象成图所示的数学模型.索塔AB,CD与桥面 AC均垂直,通过测量知两索塔的高度均为60 m,桥面AC
12、上一点P到索塔AB, CD距离之比为214,且P对两塔顶的视角为135. (1)求两索塔之间桥面AC的长度; (2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关,可简单抽象 为某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正 数a),且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b).问两索塔对桥 面何处的“承重强度”之和最小,并求出最小值.,图 图,解析 (1)设AP=21t米,CP=4t米,t0,记APB=,CPD=,则tan = = ,tan = = , 由tan(+)=tan 45= = =1,化简得7t2-125t-300=0,解得t=20或t=- (舍去)
13、, 所以AC=AP+PC=2120+420=500米. 答:两索塔之间桥面AC的长度为500米. (2)设AP=x米,点P处的承重强度之和为L(x). 则L(x)=60 ,且x(0,500), 即L(x)=60ab ,x(0,500), 记l(x)= + ,x(0,500),则l(x)= + ,令l(x)=0,解得x=250, 当x(0,250)时,l(x)0,l(x)单调递增; 所以x=250时,l(x)取到最小值,L(x)也取到最小值,最小值为 . 答:两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小,且最小值为 .,题型三 解三角形与导数的应用题,例3 (2018扬州高三第三次调研)如图,某
14、生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD,ABCD,ABBC,AB=3百米,CD=2百米.该区域内原有道路AC,现新修 一条直道DP(宽度忽略不计),点P在道路AC上(异于A,C两点),BAC= , DPA=. (1)用表示直道DP的长度; (2)计划在ADP区域内种植观赏植物,在CDP区域内种植经济作物.已知 种植观赏植物的成本为每平方百米2万元,种植经济作物的成本为每平方百 米1万元,新建道路DP的成本为每百米1万元,求以上三项费用总和的最小值.,解析 (1)过点D作DD垂直线段AB,垂足为D. 在RtABC中,因为ABBC,BAC= ,AB=3百米, 所以BC= 百米. 在RtADD中,易知
15、AD=1百米,DD= 百米,所以AD=2百米, 则sinDAD= , 故DAD= , 又BAC= ,所以DAP= ,在ADP中,由正弦定理得 = , 所以DP= , . (2)在ADP中,由正弦定理得 = ,所以AP= = , . 所以SAPD= APPDsin = sin = , . 又SADC= ADDCsinADC= 22sin = . 所以SDPC=SADC-SAPD= - , . 设三项费用总和为f(),则f()= 2+ 1+ 1 = + = + , . 所以f ()= , ,令f ()=0,则= .,列表:,所以当= 时,f()min=2 . 答:三项费用总和的最小值为2 万元.,【核心归纳】 利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等建立目标函 数,再利用导数研究函数的单调性、极值与最值.,3-1 (2018盐城高三年级第三次模拟)如图所示的是一个扇形花园,已知该扇 形的半径长为400米,AOB= ,且OL平分AOB.现拟在OC上选取一点P,修 建三条路PO,PA,PB供游人行走观赏,设PAO=. (1)将三条路PO,P
