《2018年高考数学总复习 第八章 立体几何 第7讲 空间中角与距离的计算课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高考数学总复习 第八章 立体几何 第7讲 空间中角与距离的计算课件 理（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第7讲,空间中角与距离的计算,空间向量的应用.,(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.,(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平,面的垂直、平行关系,(3)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.,1.异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b. 那么直线 a与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所,(0，90,成的角，其范围是_.,(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成,的角等于 0.,90,(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_
2、. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条 斜线与平面所成的角，其范围是(0，90). 斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的 直线所成的一切角中最小的角.,2.直线与平面所成的角,从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从 二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是,直角的二面角叫做_.,直二面角,4.点到平面的距离 点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距 离.求点到平面的距离通常运用等积法，即构造一个三棱锥，将 点到平面的距离转化为三棱锥的高. 5.直线与平面平行，那么直线上
3、任一点到平面的距离叫做 这条直线与平面的距离.,3.二面角,1.若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为,平面的法向量的是(,),B,A.(0,1,2) B.(3,6,9) C.(1，2,3) D.(3,6,8) 解析：向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.,2.若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面的法向,C,A.4 C.8,B.6 D.8,3.已知平面上的两个向量 a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面,的一个法向量为( ) A.(1，1,1) C.(2,1,1),B.(2，1,1) D.(1,1，1),C,4.如图871，在长方体ABCDA1B1C
4、1D1中，ABBC2，,AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_. 图 8-7-1,考点 1,线面所成角的计算,例1：(2014年福建)在平面四边形 ABCD 中，ABBDCD 1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起， 使得平面 ABD平面 BCD，如图 8-7-2. (1)求证：ABCD； (2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与,平面 MBC 所成角的正弦值.,图 8-7-2,(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD BD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.,又 CD平面 BCD，ABCD.,(2)解：如图D41，过点B 在平面BCD 内作BE
5、BD.,图 D41,由(1)知，AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD， ABBE，ABBD.,设平面 MBC 的法向量 n(x0，y0，z0)，,【规律方法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方,法：,传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线 与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影 的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得 到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于 已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面 的交线即为射影.,空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后 利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平
6、面所成的角. 从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似， 底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那 么创新的地方就是点 E 的位置的选择是一般的三等分点，用传 统的方法解决对于学生来说就比较有难度，因此最好使用空间 直角坐标系解决该问题为好.,【互动探究】 1.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余,弦值为(,),解析：因为BB1DD1，所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相等，设DO平面ACD1，由等体积,所以 DO,记 DD1 与平面 ACD1 所成角为，,答案：D,考点 2,面面所成角的计算,图 8-7-3,例2：
7、(2014年湖南)如图873，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O底面ABCD； (2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值.,(1)证明：如图 D42，因为四边形 ACC1A1 为矩形，,图 D42,所以CC1AC.同理DD1BD. 因为CC1DD1，所以CC1BD. 而ACBDO，因此CC1底面ABCD. 由题设知，O1OC1C.故O1O底面ABCD.,(2)解：方法一：如图D42，过O1作O1HOB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O底面ABCD， 所以O1O底面A
8、1B1C1D1，于是O1OA1C1. 又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等， 所以四边形A1B1C1D1是菱形，则A1C1B1D1. 从而A1C1平面BDD1B1，所以A1C1OB1. 于是OB1平面O1HC1，则OB1C1H. 故C1HO1是二面角C1OB1D的平面角. 不妨设AB2.,方法二：因为四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，,所以四边形 ABCD 是菱形，因此 ACBD.,又 O1O底面 ABCD，从而 OB，OC，OO1 两两垂直. 如图 D43，以 O 为坐标原点，OB，OC，OO1 所在直线分别 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 O
9、xyz，不妨设 AB2.,图 D43,【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法： (1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法.,(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小,【互动探究】,2.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_.,图 D44,考点 3,空间距离的计算,例 3：如图 8-7-4，S 是ABC 所在平面外一点，ABBC 2a，ABC120，且 SA平面 ABC，SA3a
10、，求点 A 到 平面 SBC 的距离. 图 8-7-4,解：方法一：如图8-7-5，作ADBC 交BC 延长线于点D，,连接 SD.,图 8-7-5,SA平面 ABC，SABC.,又 SAADA，BC平面 SAD. 又 BC平面 SBC，,平面 SBC平面 SAD，且平面 SBC平面 SADSD. 过点 A 作 AHSD 于 H，由平面与平面垂直的性质定理， 可知：AH平面 SBC.于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距离.,于是 h,方法三：如图8-7-6，以A 为坐标原点，以AC，AS 所在直 线为y 轴，z 轴，以过 A 点且垂直于yOz 平面的直线为x 轴建 立空间直角坐标系.,
11、图8-7-6,在ABC 中，ABBC2a，ABC120，,【互动探究】 3.已知空间中三点 A(1,0,0)，B(2,1，1)，C(0，1,2)，则,点 C 到直线 AB 的距离为_.,难点突破,空间向量在开放性问题中的应用,例题：(2014年湖北)如图877，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02). (1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ； (2)是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.,图 8-7-7,解：方
12、法一(几何法)：,(1)证明：如图878，连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正,方体，知BC1AD1,当1 时，P 是 DD1 的中点，且 F 是 AD 的中点，,图 8-7-8,图 8-7-9,(2)如图8-7-9，连接BD. 因为E，F 分别是AB，AD 的中点，,所以FPAD1.所以BC1FP. 而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ， 故直线BC1平面EFPQ.,所以四边形 EFPQ 是等腰梯形.,同理可证四边形 PQMN 也是等腰梯形.,分别取 EF，PQ，MN 的中点为H，O，G，连接OH，OG， 则 GOPQ，HOPQ，而 GOHOO，,故GOH 是面EFPQ 与面PQM
13、N 所成二面角的平面角. 若存在，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面,角，则GOH90.,如图 8-7-8，连接 EM，FN，,则由 EF MN 知，四边形 EFNM 是平行四边形. 连接 GH，因为 H，G 是 EF，MN 的中点， 所以 GHME2.,方法二(向量法)：,图 8-7-10,以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图8710所示的空间直角坐标系.由已知，得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，).,于是可取n(，1). 同理得平面MNPQ 的一个法向量为m(2,2，1). 若存在，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则mn(2,2，1)(，1)0，,
