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1、第一章 因数和倍数1.整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。 2.因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。例：12是6的倍数，6是12的因数。（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的不能单独存在。（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法：成对地按顺序找。（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。（4）2、3、5的倍数特征1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。2）一个数
2、各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。3）个位上是0或5的数，是5的倍数。4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。同时满足2、3、5的倍数，实际是求235=30的倍数。5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。3.完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等4.自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。 奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。偶数：能被2整除的数叫偶数（
3、0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。最小的奇数是1，最小的偶数是0. 关系： 奇数+偶数=奇数 奇数+ 奇数=偶数 偶数+偶数=偶数。奇数-偶数=奇数 奇数-奇数=偶数 偶数-偶数=偶数5.自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. 质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。0：最小的自然数 最小的偶数是 最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 20以内的质数：有8个（2、3、5
4、、7、11、13、17、19）100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。关系： 奇数奇数=奇数 质数质数=合数6.最大、最小一个数的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；一个数的最大因数是：A； 最小的偶数是：0；一个数的最小倍数是：A； 最小的质数是：2；最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；7.分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数 （一
5、个合数写成几个质数相乘的形式）。比如：30分解质因数是：（30=235）8.互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和8两数互质的特殊情况：1和任何自然数互质；相邻两个自然数互质； 两个质数一定互质；2和所有奇数互质； 质数与比它小的合数互质；9.公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它
6、的最小公倍数。如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。10.公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 11.求最大公因数和最小公倍数方法用12和16来举例 方法一：（列举求同法）最大公因数的求法：12的因数有：1、12、2、6、3、416的因数有：1、16、2、8、4最大公因数是4最小公倍数的求
7、法：12的倍数有：12、24、36、48、16的倍数有：16、32、48、最小公倍数是48 方法二：（分解质因数法）12=22316=2222最大公因数是：22=4 （相同乘）最小公倍数是：22 322= 48 （相同乘 不同乘）同步练习一.认真思考，对号入座(1)在26、12和13这三个数中，( )是( )的倍数，( )是( )的因数，( )和( )是互质数。(2)一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数字是0，这个数写作( )。 (3)根据要求写出三组互质数。 两个数都是质数( )和( )。 两个数都是合数( )和( )。 两个数中一个数是质数，一个
8、数是合数( )。 (4)一个数的最大因数是36 ，这个数是( )，它的所有因数有( )，这个数的最小倍数是( )。 (5)a=235，b=2511，a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 A=2B,A是（ ）,（ ）的（），2和（ ）是（ ）的（ ）.(6)把210分解质因数:45=( )。 (7)甲数除以乙数的商是15，甲乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。(8)一个两位数同时能被2、5、3整除，这个两位数最大是( )，最小是( )。(9)把下面的合数写成两个质数和的形式。 15=( )+( ) 20=( )+( )=( )+( ) (10)如果24能被3整除，
9、那么里最小能填( )，最大能填( )。 (11)8和9的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 二.仔细推敲、辨析正误 (1)189=2，我们就说18是倍数，9是因数。( )(2)一个数的倍数一定比它的因数大。( )(3)因为11和13是互质数，所以说11和13没有公因数。( ) (4)所有非零自然数的公因数是1。( )(5)所有的偶数都是合数。( )(6)两个奇数的和一定能被2整除。( )(7)所有的奇数都是质数。（ ）（8）所有的质数都是奇数（ ）（9）自然数除了偶数，就是奇数。（ ）（10）一个非0自然数至少有两个因数，无数个倍数。（ ）三.反复比较、慎挑细选 (1)一个质数的因数有(
10、 )个。 1 2 3 (2)24是4和6的( )。 公因数 公倍数 最小公倍数 (3)在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是( )。 95 90 75 (4)从323中至少减去( )才能被3整除。 减去3 减去2 减去1 (5)20的质因数有( )个。 1 2 3 (6)下面的式子，( )是分解质因数。 54=239 42=237 15=351 四.找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。 20 29 45 53 91 102.求下面各组数的最大公因数。 50和75 78和26 6和11 36、 54 和 6.求下面各组数的最小公倍数。 15和20 35和42 24和36 60和75 二
11、 分数的意义和性质1.分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。2.单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）3.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如的分数单位是。4.分数与除法AB=（B0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 45=5.真分数和假分数、带分数 1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。 2、假分数：分子大于或等于分母的分数叫假分数。假分数1 3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数1。
12、6.真分数1假分数 真分数1带分数7.假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子， 如：=105=2 =215=4（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：2= 24=8 （8作分子）（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：5= 55+1=26（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：1=8.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。9.最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数
13、，就能够化成有限小数。反之则不可以。10.约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如：=11.通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如： 和 可以化成和12.分数和小数的互化（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100 如：0.3= 0.03= 0.003=（2）分数化为小数： 方法一：把分数化为分母是10、100、1000如：=0.3 =0.6 =0.25方法二：用分子分母 如：=34=0.75（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数 如：2=2+0.3=2.313.比分数的大小：分母相同，分子大，分数就大；分子相同，分母小的，分数大。分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。14.分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4
