《（江苏专用）2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件 文（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章 数列,6.3 等比数列及其前n项和,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母_表示(q0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an .,从第二项起，每一项与它的前一项的比都等,于同一个常数,公比,q,a1qn1,知识梳理,1,答案,3.等比中项 若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN*)
2、. (2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则 .,qnm,akalaman,答案,5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn， 当q1时，Snna1；,6.等比数列前n项和的性质 公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_.,qn,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.( ) (2)G为a，b的等比中项G2ab.( ) (3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列.( ) (4
3、)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.( ),(6)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列.( ),思考辨析,答案,1.(2015课标全国改编)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7_. 解析 设等比数列an的公比为q， 则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21， 解得q23(舍去)或q22， 于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142.,42,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.等差数列an的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4_. 解析 令首项为a，根据已知条件有(a9)2(a3)(a21). 解
4、得a3，所以a433312.,12,解析答案,1,2,3,4,5,3.等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于_. 解析 数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4 lg(a4a5)4lg(25)44.,4,解析答案,1,2,3,4,5,4.(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_. 解析 由等比数列性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，,又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.,2n1,解析答案,1,2,3,4,5,5.在9与24
5、3中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_. 解析 设该数列的公比为q，由题意知， 2439q3，q327， q3. 插入的两个数分别为9327,27381.,27,81,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5_.,题型一 等比数列基本量的运算,解析答案,(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.,解析 设等比数列an的公比为q(q0)，,4或4,解析答案,思维升华,思维升华,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q
6、，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.,(1)在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则 _.,解析 设公比为q，则由题意知0q1，,跟踪训练1,解析答案,(2)(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_. 解析 由3S1,2S2，S3成等差数列知， 4S23S1S3，可得a33a2， 所以公比q3， 故等比数列通项ana1qn13n1.,3n1,解析答案,例2 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,题型二 等比数列的判
7、定与证明,解析答案,，得an14an4an1 (n2)， an12an2(an2an1) (n2). bnan12an，bn2bn1 (n2)， 故bn是首项b13，公比为2的等比数列.,证明 由a11及Sn14an2， 有a1a2S24a12. a25，b1a22a13.,(2)求数列an的通项公式.,解 由(1)知bnan12an32n1，,故an(3n1)2n2.,解析答案,例2中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他条件不变探求数列an的通项公式. 解 由已知得n2时，Sn2Sn1n. Sn1Sn2Sn2Sn11， an12an1， an112(an1)，又a11， 当n
8、1时上式也成立， 故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列， an122n12n，an2n1.,解析答案,思维升华,引申探究,思维升华,(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.,设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan (n1)Sn2n(nN*). (1)求a2，a3的值；,跟踪训练2,解 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)， 当n1时，a1212； 当n2时，a12a2(a1a2)4， a24； 当n3时，
9、a12a23a32(a1a2a3)6， a38. 综上，a24，a38.,解析答案,(2)求证：数列Sn2是等比数列.,解析答案,故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列.,证明 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)， 当n2时，a12a23a3(n1)an1 (n2)Sn12(n1). 得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12. Sn2Sn120，即Sn2Sn12， Sn22(Sn12). S1240，Sn120，,例3 (1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.,题型三 等比数列的性质
10、及应用,解析答案,由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，,解析答案,思维升华,思维升华,(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若mnpq，则有amanapaq”，可以减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，公比为qk(q1).,跟踪训练3,解析答案,(2)等比数列an共有奇数项，所有奇数项和S奇255，所有偶数项和 S偶126，末项是192，则首项a1_.,解析 设等比数列an共有2k1
11、(kN*)项，则a2k1192，,解得a13.,3,解析答案,返回,思想与方法系列,(1)求数列an的通项公式；,思维点拨 利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；,思想与方法系列,12.分类讨论思想在等比数列中的应用,解析答案,思维点拨,规范解答 解 设等比数列an的公比为q， 因为2S2，S3,4S4成等差数列， 所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，,思维点拨 求出前n项和，根据函数的单调性证明.,解析答案,思维点拨,温馨提醒,规范解答,解析答案,温馨提醒,温馨提醒,(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况
12、. 等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论. 项数的奇、偶数讨论. 等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论. (2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.,返回,思想方法 感悟提高,(2)a1ana2an1amanm1. 2.判断数列为等比数列的方法,方法与技巧,方法与技巧,1.特别注意q1时，Snna1这一特殊情况. 2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10. 3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因
13、忽略q1这一特殊情形而导致解题失误. 4.等比数列性质中：Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，不能忽略条件q1.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1.(2014重庆改编)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是_ a1，a3，a9成等比数列； a2，a3，a6成等比数列； a2，a4，a8成等比数列； a3，a6，a9成等比数列,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.,解
14、析 设数列an的公比为q，,所以n14.,14,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.在等差数列an和等比数列bn中，已知a18，a22，b11，b22，那么满足anbn的n的所有取值构成的集合是_. 解析 由已知得，an6n14，bn2n1， 令anbn，可得6n142n1， 解得n3或5， 所以满足anbn的n的所有取值构成的集合是3,5.,3,5,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,m3，q38，q2.,答案 2,与题中条件矛盾，故q1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
