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1、,函数、导数及其应用,第 二 章,第6讲 函数的奇偶性与周期性,栏目导航,1偶函数、奇函数的概念 一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数 2奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于_对称，奇函数的图象关于_对称,f(x)f(x),f(x)f(x),y轴,原点,3函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 (3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶
2、偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇,4函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个_T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期 (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_正周期,非零常数,f(xT)f(x),最小,6函数的对称性与周期性的关系 (1)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，且周期T2(ba)(不一定是最小正周期，下同) (2)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(ab)，那么函数f(x)
3、是周期函数，且周期T2(ba) (3)如果函数f(x)，xD在定义域内有一条对称轴xa和一个对称中心B(b,0)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T4|ba|. 注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆,1思维辨析(在括号内打“”或“”) (1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的( ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.( ) (3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称( ) (4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称( ),2下列函数为偶函数的是(
4、) Af(x)x1 Bf(x)x2x Cf(x)2x2x Df(x)2x2x 解析：易判断选项A，B中的函数为非奇非偶函数；对于选项C，f(x)2x2x(2x2x)f(x)为奇函数；对于选项D，f(x)2x2xf(x)为偶函数，故选D,D,A,4已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 015)( ) A2 B2 C8 D8 解析：由f(x4)f(x)，f(x)的周期为4， f(2 015)f(50343)f(3)f(1)， 又函数为奇函数，f(1)f(1)2122，故选A,A,5若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.,判断函数
5、奇偶性的方法 (1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(x)与f(x)的关系作出判断 (2)分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性,一 函数奇偶性的判断,二 函数奇偶性的应用,与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 (2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用
6、奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式,(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：由f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解 (4)应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性,【例2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)( ) A3 B1 C1 D3 (2)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，flg(log210)5，则flg(lg 2)( ) A5 B1
7、 C3 D4,C,C,三 函数的周期性,函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期,【例3】 定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 015)( ) A335 B336 C337 D2 015 解析：由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为
8、6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 015)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)335112101335336.,B,四 函数性质的综合应用,函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性 (2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 (3)单调性、奇偶性与周期性
9、的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解,A,1,D,2已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)( ) A6 B6 C4 D4 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)3xm，所以f(0)1m0m1，则f(log35)f(log35)(3log351)4.,D,B,1,易错点1 不会判断函数的周期性,错因分析：不会正确表达各性质；辨不清性质的本质；不能综合运用 【例3】 定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(4x)，且f(2x)f(x2)0，求f(2 016)的值 解析：f(2x)f(x2)0,2x(x2)， f(x)在R上是奇函数，因此f(0)0. 由f(x)f(4x)得f(x4)f4(x4)f(x)f(x)， 所以f(x8)f(x4)4f(x4)f(x) 因此f(x)是周期为8的周期函数，于是f(2 016)f(0)0. 答案：0,易错点2 面对抽象函数时，函数性质的运用能力差,
