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1、第四章 圆与方程,章末复习提升,知识网络 整体构建,要点归纳 主干梳理,题型探究 重点突破,栏目索引,知识网络 整体构建,返回,要点归纳 主干梳理,1.圆的方程 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2y2r2. 圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0). (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)， 而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线
2、的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.,2.点与圆的位置关系 (1)点在圆上 如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上. 如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上. (2)点不在圆上 若点的坐标满足F(x，y)0，则该点在圆外；若满足F(x，y)0，则该点在圆内. 点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内. 注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax|PC|r；最小距离：dmin|PC|r.,3.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方
3、程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断). (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为dr，最小距离为dr，其中d为圆心到直线的距离. (2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.,(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线. 若切线所过点(x0，y0)在圆x2y2r2上，则切线方程为x0xy0yr2；若点(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2上，则切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. 若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可
4、能符合题意. (4)过直线l：AxByC0(A，B不同时为0)与圆C：x2y2DxEyF0 (D2E24F0)的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0，是待定的系数.,4.圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断). (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长. (2)过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20的交点的直线方
5、程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.,5.空间直角坐标系 (1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应. (2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离,返回,(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.,题型探究 重点突破,题型一 求圆的方程 求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： (1)选择圆的方程的某一形式； (2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)； (3)解出a，b，r(或
6、D，E，F)； (4)代入圆的方程.,例1 有一圆与直线l：4x3y60相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的方程.,解析答案,解 方法一 设圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 则圆心为C(a，b)，由|CA|CB|，CAl，,解析答案,方法二 设圆的方程为x2y2DxEyF0，圆心为C，由CAl，A(3，6)、B(5，2)在圆上，,所求圆的方程为：x2y210x9y390. 方法三 设圆心为C，则CAl， 又设AC与圆的另一交点为P，,解析答案,即3x4y330.,直线BP的方程为x2y10.,P(7，3).,解析答案,跟踪训练1 若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y
7、1相切，则圆C 的方程是_.,解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0，0)和(4，0)， 所以设圆心为(2，m). 又因为圆与直线y1相切，,题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程. (2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.,解析答案,解 由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在. 设直线l的方程为yk(x4
8、)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，,从而k(24k7)0.,所以直线l的方程为y0或7x24y280.,解析答案,(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.,解 设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为ybk(xa)，k0，,因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等， 所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即,整理得|13kakb|5k4abk|，,解
9、析答案,从而13kakb5k4abk或13kakb5k4abk， 即(ab2)kba3或(ab8)kab5， 因为k的取值范围有无穷多个，,经检验点P1和P2满足题目条件.,解析答案,解析答案,所以直线l的方程为3x4y60.,题型三 与圆有关的最值问题 在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.,解析答案,例3 在ABO中，|OB|3，|OA|4，|AB|5，P是ABO的内切
10、圆上一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.,解 如图所示，建立平面直角坐标系， 使A，B，O三点的坐标分别为A(4，0)，B(0，3)，O(0，0). 设内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)， 则2r|AB|OA|OB|，r1. 故内切圆的方程为(x1)2(y1)21， 整理得x2y22x2y1. 由已知得|PA|2|PB|2|PO|2(x4)2y2x2(y3)2x2y2 3x23y28x6y25. 由可知x2y22y2x1， 将代入得|PA|2|PB|2|PO|23(2x1)8x252x22.,解析答案,0x2， |PA|2|PB|2|PO|2的最
11、大值为22，最小值为18.,跟踪训练3 已知实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求xy的最大值和最小值.,解析答案,解 设xyt，由题意，知直线xyt与圆(x3)2(y3)26有公共点，,题型四 分类讨论思想 分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.,例4 已知直线l经过点P(4，3)，且被圆(x1)2(y2)225截得的弦长为8，求直线l的方程.,解析答案,解 圆(x1)2(y2)225的圆心为(1，2
12、)，半径r5. 当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x4， 由题意可知直线x4符合题意. 当直线l的斜率存在时，设其方程为y3k(x4)， 即kxy4k30.,综上所述，满足题设的l方程为x4或4x3y250.,解析答案,跟踪训练4 如图，已知以点A(1，2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切.过点B(2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P. (1)求圆A的方程；,解 设圆A的半径为r. 由于圆A与直线l1：x2y70相切，,圆A的方程为(x1)2(y2)220.,解析答案,解 当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意； 当直线l与x轴不垂直时，设直线
13、l的方程为yk(x2)，即kxy2k0. 连接AQ，则AQMN.,直线方程为3x4y60. 综上，直线l的方程为x2或3x4y60.,题型五 数形结合思想 数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率.,例5 已知三条直线l1：x2y0，l2：y10
14、，l3：2xy10两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.,解析答案,解 画图如右： 由直线方程易知l2平行于x轴，l1与l3互相垂直， 三个交点A，B，C构成直角三角形， 经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆.,解析答案,点A的坐标为(2，1).,点B的坐标为(1，1).,又|AB|1(2)|3.,解析答案,(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；,化简，得(x2)2y24. 轨迹C是以(2，0)为圆心，2为半径的圆.,解析答案,解 设过点B的直线为yk(x2).,(2)求动点M与定点B连线的斜率的最小值；,(3)设直线l：yxm交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.,解析答案,解 假设存在，设P(x1，y1)，Q(x2，y2).,解析答案,得2x22(m2)xm20.,设以PQ为直径经过点A的圆的圆心为O，,整理得(x1x22)2(y1y2)2 (x1x2)2(y1y2)24x1x24y1y2， 将代入得m23m10，,课堂小结,初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将
