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1、,向量法求二面角的大小,北京市房山区教师进修学校 卢寒芳,四、教学过程的设计与实施,一、教学背景的分析,二、教学目标的确定,三、教学方法的选择,五、教学效果评价与反思,一、教学背景的分析,本节课教学内容选自人教高中数学B版选修21第 三章第2.4节“二面角及其度量”的第2课时 二面角是立体几何的重要概念之一它是学生在 学习异面直线所成的角，直线与平面所成的角之 后，又重点研究的一种空间角 课标要求：能用向量方法解决面面夹角的计算问 题，体会向量方法在研究几何问题中的作用,一、教学背景的分析,利用向量方法求解立体几何问题是将逻辑推理转化 为向量的代数运算. 三步曲：空间向量表示几何元素利用向量运
2、算研 究几何元素间的关系把运算结果转化成相应的几 何结论. 用到数形结合、类比转化等数学思想和方法，有助 于提高学生的思维能力,一、教学背景的分析,已学习：二面角及二面角的平面角的概念 会：建立空间直角坐标系 进行向量坐标运算 求平面的法向量 已掌握：用向量求解线线角、线面角的方法,二、教学目标的确定,通过类比异面直线所成的角、直线与平面所成角的解决方法，得到用向量求二面角大小的方法，并能用之解决有关问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用,通过经历向量法求二面角大小的推导过程，培养大胆探索精神，提高学习立体几何的兴趣,在探究用向量法求二面角大小的过程中，体会数形结合、类比转化的数学思想，进一
3、步提高空间想象能力、分析问题和解决问题的能力,重点和难点,重点:用法向量夹角求二面角的方 法的探究及应用,难点:二面角与两个半平面的法向 量夹角的关系,二、教学目标的确定,多媒体辅助,三、教学方法的选择,教师启发引导 学生自主探究,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,l,如何度量二面角l的大小,四、教学过程的设计与实施,异面直线所成的角,四、教学过程的设计与实施,直线与平面所成的角,四、教学过程的设计与实施,设计意图,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,A,O,B,问题1： 二面角的平面角 能否转化成向量的夹角？,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实
4、施,设计意图,四、教学过程的设计与实施,问题2： 求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？,四、教学过程的设计与实施,思考：法向量的夹角与二面角平面角的关系,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.,根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.,四、教学过程的设计与实施,设计意图,四、教学过程的设计与实施,问题3： 法向量的夹角与二面角
5、的大小什么时候相等，什么时候互补？ 再次演示课件,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,设计意图,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,已知ABCD 是直角梯形,DAB=ABC=90, SA平面ABCD，SA=AB=BC=1， ， 求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值,四、教学过程的设计与实施,设计意图,四、教学过程的设计与实施,已知ABCD 是直角梯形,DAB=ABC=90, SA平面ABCD，SA=AB=BC=1， ， 求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,设计意图,四、教学过
6、程的设计与实施,总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤： 1）建立坐标系，写出点与向量的坐标； 2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的 夹角； 3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或 钝角，得出问题的结果,四、教学过程的设计与实施,设计意图,四、教学过程的设计与实施,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角ADQA1的余弦值,巩固练习：,四、教学过程的设计与实施,数形结合,类比转化,两个思想,四、教学过程的设计与实施,一个步骤,两种方法,半平面内分别垂直于棱的向量的夹角,两个平面的法向量的夹角求解,用法向量求二面角大小的步骤,四、教学过程的设计与实施,设计意图,课后作业： 1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 ， 试用多种方法求二面角A1BDC1的余弦值 2、P111练习A第3题，练习B第2题,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,五、教学效果的评价与反思,五、教学效果的评价与反思,1、以课标为中心，加强知识形成过程的教学。 2、几何画板演示、实物教具和传统板书教学有效结合。 3、在教师的引导下，学生的主体性得到了充分体现。 4、注重提高学生的思维能力和数学思想方法的渗透。,五、教学效果分析,,谢谢！,
