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1、一元二次方程及其应用,一个未知数,1定义 只含有_，并且未知数的最高次数是_，这样的整式方程叫做一元二次方程通常可写成如下的一般形式：_，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项,2,ax2bxc0(a，b，c是已知数，a0),2解法 (1)直接开平方法：方程符合x2m(m0)或(xm)2n(n0)的形式； (2)配方法：二次项系数化1；移项；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；原方程写成a(xh)2k的形式；当k0时，直接开平方求解；,(3)公式法：化一般形式；确定a，b，c的值；求出b24ac的值；当b24ac0时，将a，b，c的值代入得x_； (4)因式分解法：将方程右
2、边化为0；将方程左边进行因式分解；令每个因式为零得两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，得原方程的两个根,3一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2bxc0(a0)： (1)b24ac0方程有两个_的实数根； (2)b24ac0方程有两个_的实数根； (3)b24ac0方程_实数根； (4)b24ac0方程_实数根,不相等,相等,无,有,4一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根分别为x1，x2，则有x1x2_，x1x2_ 5一元二次方程的应用：步骤及常见关系参看第6讲,1使用一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系时，必须将一元二次方程转化为一般式a
3、x2bxc0，以便确定a，b，c的值 2正确理解“方程有实根”的含义若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”,A,命题点1：解一元二次方程 1我们解一元二次方程3x26x0时，可利用因式分解法，将此方程化为3x(x2)0，从而得两个一元一次方程：3x0或x20，进而得到原方程的解为x10，x22，这种解法体现的数学思想是( ) A转化思想 B函数思想 C数形结合思想 D公理化思想,2解方程：(2x1)2x(3x2)7. 解：原方程可化为：4x24x13
4、x22x7，x26x80，(x3)21，x31，x12，x24,命题点2：一元二次方程的应用 1某项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？,2某山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降价2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾
5、客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？,【例1】 解下列方程： (1)x22x0； (2)(2015大连)x26x40； (3)(y3)(13y)12y2； (4)(3x5)25(3x5)40.,【点评】 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法因式分解法公式法,对应训练 1用指定的方法解下列方程： (1)(2x1)29；(直接开平方法) (2)2x213x；(配方法) (3)x22x80；(因式分解法) (4)x(x1)2(x1)0.(公式法),D,【例2】 (2015成都)关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
6、Ak1 Bk1 Ck0 Dk1且k0,【点评】 对于一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，0方程有两个实数根，0方程有两个不相等的实数根，0方程有两个相等的实数根，0方程没有实数根，反之亦然另外，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件,对应训练 2(1)(2015凉山州)关于x的一元二次方程(m2)x22x10有实数根，则m的取值范围是( ) Am3 Bm3 Cm3且m2 Dm3且m2 (2)(2015泰州)已知：关于x的方程x22mxm210. 不解方程，判别方程根的情况； 若方程有一个根为3，求m的值,D,解：a1，b2m，cm21，b24a
7、c(2m)241(m21)40，方程x22mxm210有两个不相等的实数根；x22mxm210有一个根是3，322m3m210，解得，m4或m2,【例3】 (1)(2015金华)一元二次方程x24x30的两根为x1，x2，则x1x2的值是( ) A4 B4 C3 D3 (2)(2015潜江)已知关于x的一元二次方程x24xm0. 若方程有实数根，求实数m的取值范围； 若方程两实数根为x1，x2，且满足5x12x22，求实数m的值,D,解：方程有实数根，(4)24m164m0，m4；x1x24，5x12x22(x1x2)3x1243x12，x12，把x12代入x24xm0得：(2)24(2)m0
8、，解得：m12,C,100200x,【例4】 (2015淮安)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售 (1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是_斤(用含x的代数式表示)； (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？,【点评】 (1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程(2)解出
9、方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根,对应训练 4(1)(2015毕节)一个容器盛满纯药液40 L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10 L，则每次倒出的液体是_L. (2)(2015长沙)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同,20,求该快递公司投递总件数的月平均增长率； 如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能
10、否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？,解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10(1x)212.1，解得x10.1，x22.1(不合题意舍去)答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%,试题 (1)解方程：3x(x2)5(x2)； (2)解方程：9x26x19； (3)解方程：x22x10.,剖析 (1)解方程3x(x2)5(x2)时，方程两边同时除以含x的代数式破坏了方程的同解性，遗失了一个根x2；(2)解方程9x26x19，在开平方时，由于只取了一个算术平方根，这样就把未知数的取值范围缩小了，遗失了一个根；(3)解方程x22x10时，解得的结果应写成x1x21.,D,2016年中考预测题 1下列关于x的一元二次方程有实数根的是( ) Ax210 Bx2x10 Cx2x10 Dx2x10 2解方程：(x1)(2x1)3(x1) 解：x11，x22,
