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1、高二数学 第二章 第1节 曲线与方程知识精讲 理 人教实验B版选修21【本讲教育信息】一、教学内容：选修21 曲线与方程二、教学目标：了解解析几何的基本思想，了解坐标法研究几何问题的方法；掌握用几种重要的方法求曲线的方程的方法和步骤。三、知识要点分析：1、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P=Mp（M）；（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。2、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、
2、待定系数法、参数法、交轨法。（1）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，即直接通过建立x、y之间的关系，构成f（x，y）0，此法是求轨迹的最基本的方法。（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系，从而求出轨迹方程。注：用定义法求曲线方程，灵活运用题设重要条件，确定动点满足的等量关系，结合圆锥曲线定义确定方程的类型。步骤：列出等量关系式；由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；写出方程。利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。（3）代
3、入法（相关点法或转移法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成的轨迹的动点P（x，y）却随着另一动点Q（x1，y1）的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹为已给定或容易求得，则可先将x1、y1表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程。（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程（6）交轨法：求两动曲线交点的轨迹时，可由方程直接
4、消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形、在何处，即图形的形状、位置、大小都需说明及讨论清楚。【典型例题】例1. 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a，则A（a，0），B（a，0）.设M（x，y）是轨迹上任意一点. 则由题设，得=，代入坐标，得=，化简得（12）x2+（12）y2+2a（1+2）x+（12）a2=0（1）
5、当=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线（y轴）. （2）当1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0，点M的轨迹是以（，0）为圆心，为半径的圆. 感悟：本题所用的方法是直接法，在所求得的曲线方程中含参数，应通过对参数的讨论来说明轨迹的类型，即是什么曲线，它的位置，形状，大小如何，此题易忽视讨论=1的情况。建立适当的坐标系，用直接法求得轨迹方程，再由值的变化讨论方程所表示的曲线。例2. 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。 命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法
6、”求曲线的轨迹方程：错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 解：设AB的中点为R，坐标为（x，y），则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36（x2+y2）又|AR|=|PR|=所以有（x4）2+y2=36（x2+y2），即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹
7、上运动. 设Q（x，y），R（x1，y1），因为R是PQ的中点，所以x1=，代入方程x2+y24x10=0，得10=0整理得：x2+y2=56，这就是所求的顶点Q的轨迹方程. 例3. 已知圆x2+y2=16，A（2，0），若P，Q是圆上的动点，且，求PQ中点的轨迹方程。解：设PQ中点M的坐标为（x，y），由已知圆的参数方程，可设，（1）又，化简得代入（1）式，得，所以所求PQ中点的轨迹方程为。例4. 圆过点P（2，1）且和直线相切，圆心在直线y=2x上，求此圆的方程。解：设圆的方程为，由已知，解得a=1，b=2，r=或a=9，b=18，r=13.所以此圆的方程为。注意：求圆的方程，可先设所求圆
8、的标准方程或一般方程，再由题设条件建立方程组，解方程组，确定方程中的待定系数。例5. 设点A和B为抛物线 y2=4px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 命题意图：本题主要考查用“参数法”求曲线的轨迹方程。知识依托：直线与抛物线的位置关系。 错解分析：当设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）时，注意对“x1=x2”的讨论。技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系。解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）（x0）直线AB的方程为x=my+a由O
9、MAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x，得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa， x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p，用m=代入，得x2+y24px=0（x0）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0（x0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。解法二：设OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得AB的方程为，过定点，由OMAB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0（x0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。解法三：设M（x，y
10、） （x0），OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以OA为直径的圆 上，又在以OB为直径的圆 上（O点除外），+得 x2+y24px=0（x0）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0（x0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。本讲涉及的数学思想、方法 1、曲线方程的意义；方程恰为曲线C的方程即曲线C恰为方程的曲线的充要条件；已知曲线求方程：求动点的轨迹方程；已知曲线方程求曲线：要做到不多不少刚刚好；曲线与曲线的交点坐标。2、注意动点应满足的某些隐含条件，注意方程化简时的等价性，主要是在去分母和两边平方时的变形，还要注
11、意图形可以有不同的位置或字母系数取不同值时的讨论。预习导学案（期中考试复习）（一）预习前知1、什么是算法？2、画程序框图的规则是什么？（二）预习导学探究反思探究反思的任务：算法，程序框图，概率，常用逻辑用语1、算法的特征：_2、当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）3、对立事件的概率计算公式：_4、古典概型（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）古典概型的概率计算公式：_5、几何概型的概率公式：P（A）=_6、原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题 ： 7、一般地，如果已
12、知 ，那么我们就说 是 成立的 ；q是p成立的 ； 如果既有，又有qp，那么我们就说 是 成立的 。8、反证法：是从要证明的结论的反面出发，推出一个矛盾的结果，从而得到原结论成立的证明方法。有些问题直接证明时条件很少或无法从正面得到结论，但用反证法较易。用反证法证题的步骤是：（1） （2） （3） 【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1. 如果命题“坐标满足方程 的点都在曲线 上”不正确，那么以下正确的命题是（ ）A. 曲线 上的点的坐标都满足方程 . B. 坐标满足方程 的点有些在 上，有些不在 上. C. 坐标满足方程 的点都不在曲线 上. D. 一定有不在曲线 上的点，其坐标满足方程 . 2. 和y轴相切并且和曲线x2+y2=4 （0x2）相内切的动圆圆心的轨迹方程为（ ）。A. y2=4（x1）（x0）B. y2=2（x+1）（0x1）C. y2=4（x1）（0x1）D. y2=2（x1）（00），求动点M
