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1、天津市南开中学2015届高考数学 空间向量练习3（含解析）1. （2012浙江）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且平面分别为的中点（）证明：平面；（）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值()如图连接BDM，N分别为PB，PD的中点，在PBD中，MNBD又MN平面ABCD，MN平面ABCD；()如图建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，)，N(，0，)，C(，3，0)设Q(x，y，z)，则，由，得：即：对于平面AMN：设其法向量为则（-同理对于平面MNQ得其法向量为记所求二面角AMNQ的平面角大小为，则所求二面角AMNQ的平面角的余弦值为2. （2013江西）如图，四棱锥中，
2、平面，为的中点，为的中点，,，连接并延长交于.（）求证：平面；（）求平面与平面的夹角的余弦值图1在中，依题意有，所以且，又，所以与为全等的正三角形易知，所以，是中点又是中点，所以，又平面，所以平面接下来证明平面就很容易了解：（）依审题要津，平面，所以，又，所以平面解：（）如图所示，建立空间直角坐标系，为坐标原点，则，设平面的法向量，则即解得所以设平面的法向量，则即解得所以所以平面与平面的夹角的余弦值为解：（1）在中，因为是的中点，所以,故，因为,所以,从而有，故,又因为所以。又平面，所以故平面。（1） 以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则,（2），故设平面的法向量，则，解得，即。设平面的法向
3、量，则，解得，即。从而平面与平面的夹角的余弦值为3. （2012辽宁）如图，直三棱柱，点分别为和的中点（）证明：平面；（）若二面角为直二面角，求的值解：（1）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面平面，因此6分（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示设则，于是，所以，设是平面的法向量，由得，可取设是平面的法向量，由得，可取因为为直二面角，所以，解得4. （2012北京）如图(1)，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图(2)（）求证：平面；（）若是的中点，求与平面所成角的大小；（）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由【审
4、题要津】要证平面，只需在平面内找到两条相交直线都与垂直，显然有，再通过证明平面得到，从而问题得证解：（）因为，所以平面，又因为平面，所以，又，所以平面【审题要津】若想通过找出在面内的射影得出线面成角，则难度很大，故考虑引入坐标系来计算解：（）如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面法向量为，则所以所以不妨取，所以又因为，设与平面所成的角为，则与所夹角的锐角为，所以，故与平面所成角为【审题要津】假设存在点，由点在线段上，则知，这是最重要的限制条件，这是将来判断“是否存在”的依据解：（）设线段上存在点满足题设，设点坐标为，则，设平面的法向量为，则所以不妨取，所以，假设平面与平面垂直，则，所以，与矛
5、盾，所以不存在线段上的点，使平面与平面垂直解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如图建系，则，,设平面法向量为则 又，与平面所成角的大小。（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为，则。假设平面与平面垂直，则，不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。5. （2013重庆）如图，四棱锥中，,，为的中点，.（1）求的长；（2）求二面角的正弦值.6. （2014大纲）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，.（I）证明：；（II）设直线与平面的距离为，求二面角的余弦值.解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面又，平面连结，侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（II）平面平面，故平
6、面平面作为垂足，则平面又直线平面，因而为直线与平面的距离，为的角平分线，故作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角由得为的中点，二面角的大小为解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由题设知与轴平行，轴在平面内（I）设，由题设有则由得，即（）于是（II）设平面的法向量则即故，且令，则，点到平面的距离为又依题设，点到平面的距离为代入解得（舍去）或于是设平面的法向量，则，即，故且令，则又为平面的法向量，故，二面角的大小为7. （2014湖南）如图，四棱柱的所有棱长都相等，四边形均为矩形（）证明：（）若的余弦值解：（I）因为四边形为矩形，所以.同理
7、。因为，所以。而，因此底面ABCD。由题设知，。故底面ABCD。解法2 因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此。又底面ABCD，从而OB，OC,两两垂直。如图（b），以O为坐标原点，OB,OC,所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。不妨设AB=2.因为，所以，于是相关各点的坐标为：O(0，0，0)，.易知，是平面的一个法向量。设是平面的一个法向量，则即取，则，所以。设二面角的大小为，易知是锐角，于是。故二面角的余弦值为8. （2014浙江）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1） 证明：平面；（2） 求二面角的大小（I）在直角梯形中，由，得，由，则，即，又平面平面，从而平面，所以，又，从而平面；（II）方法一：作，与交于点，过点作，与交于点，连结，由（I）知，则，所以是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而，由于平面，得：，在中，由，得，在中，得，在中，得，从而，在中，利用余弦定理分别可得，在中，所以，即二面角的大小是方法二：以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示，由题意可知各点坐标如下：，设平面的法向量为，平面的法向量为，可算得，由得，可取，由得，可取，于是，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角的大小是
