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1、基础知识 一、空间角 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角都可以看成是角的概念在空间的拓广，三种角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小由于引入了空间向量，三种角的计算除以上方法外，还可考虑采用向量方法进行处理,二、三种角的概念、取值范围及作法 (1)异面直线所成的角：在空间取一点O，过O点分别作两异面直线的 线所成的 叫做两条异面直线所成的角其取值范围为(0， 作法：平移法 (2)直线和平面所成的角：如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的
2、大小为 ；如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为 ；如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的 所成的 角，称之为直线和平面所成的角因此，直线和平面所成角的取值范围是0， ,平行,锐角或直角,0,射影,锐,作法：几何法：引垂线，找垂足，连接垂足、斜足得射影 温馨提示 利用几何法求线面角时，可过斜线上一点作已知平面的垂线若垂足不好作出，则可借助垂面 (3)二面角的平面角：从一条直线出发的两个 组成的图形叫做二面角以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角其取值范围为0，,半平面,任意,垂直于棱,作二面角的平
3、面角的常用方法有： 定义法：根据定义，以棱上任一点为端点， ，则形成二面角的平面角 三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P ，于是PBA(或其补角)是二面角的平面角,分别,在两个面内作垂直于棱的两条射线,作另,一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，,连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直,垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别与两个面的交线，构成二面角的平面角 常用面积的射影定理来求二面角，即ScosS射，它的优点是不必作出二面角的平面角,归纳拓展 (1)空间角的计算步骤：一找(作)，二证，三计算(2)特别注意三种空间角的取值范围,易错知识 一、找错平面角致误 1如图是三个全
4、等的矩形构成的空间图形，D为AC的中点，若AB1BC1，求二面角DBC1C的大小,错解：设BC1B1CO，连结DO，则ODAB1， 因为AB1BC1， 所以ODBC1.而OC是OD在平面B1BCC1内的射影， 所以OCBC1， 故DOC为所求二面角的平面角 所以B1BCC1为正方形,分析：把OC当成OD在平面B1BCC1内的射影，从而找错了平面角,正解：设BC1B1CO，连结OD. 因为AB1OD，AB1BC1， 所以ODBC1. 因为BB1BC，BB1AB，ABBCB， 所以B1B平面ABC. 所以平面ABC平面B1BCC1. 过D作DEBC于E，则DE平面B1BC1C. 连结OE，由三垂线
5、定理的逆定理得OEBC1. 所以DOE为二面角DBC1C的平面角,设ABBCAC2a，取BC的中点F，连结AF、OF，故AF 易知OFBC.在BOE中， 所以DOE45. 故二面角DBC1C的大小为45.,二、考虑问题不全面导致错误 2a、b是所成角为80的异面直线，过空间一点P作直线l. (1)使l与a、b所成的角均为80，这样的直线l一共有 条 (2)若l与a、b所成的角均为50，这样的直线l一共有 条,4,3,回归教材 1(2009湖北黄冈一模)设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为 ( ) ARPQ
6、BRPQ CPRQ DRPQ 解析：因为P0， ，Q0，R(0， ，所以RPQ.故选B. 答案：B,2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BC1和B1D1所成的角为 ( ) A30 B45 C60 D90,解析：连接AD1、AB1， AB綊A1B1綊C1D1， 四边形ABC1D1为平行四边形， AD1BC1，AD1B1就是BC1和B1D1所成的角或其补角 在AB1D1中，AD1B1D1AB1， AD1B160，BC1和B1D1所成的角为60. 答案：C,3在正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与截面BB1D1D所成的角是 ( ) A30 B45 C60 D90 解析：连结A1
7、C1，交B1D1于O1，则B1D1A1C1， 又BB1A1C1，A1C1平面BB1D1D，连结O1B，则C1BO1就是所要求的线面角 设正方体棱长为1， 答案：A,4下面所给出的二面角的平面角的几种作法： 如图(1)，在棱a上任取一点O，过O点分别在半平面和半平面内作OAa，OBa，得AOB为所求 如图(2)，在棱a上任取一点O，过O点在内作OAa，在OA上任取一点A(异于O)，作AB于B，连结OB得AOB为所求,如图(3)，在棱a上任取一点O，过O点作平面a，设平面分别与、相交于OA、OB，则AOB为所求 能正确地作出二面角的平面角的是 ( ) A B只有 C和 D和 解析：正确，这是用定义
8、法作二面角的平面角； 错误，这是用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的重要方法，但要注意，上述作法，只对二面角小于90时成立； 正确，这是利用作棱的截面得到二面角的平面角的方法故选C. 答案：C,5(教材改编题)下列说法正确的是 ( ) A若直线l1、l2和平面所成的角相等，则l1l2 B若直线l1和l2平行，则l1、l2和平面所成的角相等 C若直线l1和l2相交，则l1、l2和平面所成的角必不相等 D若直线l1、l2和平面所成的角不相等，则l1与l2也可平行 解析：对于A，可举例：由三腿凳知A不正确；对于B，分别在l1、l2上各取一点作的垂线，则两垂线平行，由等角定理可知正确；对于C，可由A
9、中例子知不正确；对于D，由B知(找等价命题)不正确 答案：B,【例1】 正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，求异面直线AB1与C1B所成角的大小 分析 可用平移法，构造三角形求解,解答 解法一：如图，连结B1C交C1B于O，取AC中点D，连结DO，BD，则DOAB1，BOD即为所求角或其补角,DO2BO2BD2， DOBO，即AB1C1B. AB1与C1B所成角的大小等于90.,解法二：如图，分别延长正三棱柱ABCA1B1C1三条侧棱A1A、B1B、C1C至A2、B2、C2，使A1AAA2，B1BBB2，C1CCC2，连结A2B2，B2C2，A2C2，则将原来的正三棱柱补成一个新的三棱
10、柱，连结A2B，A2C1，在矩形A1A2B2B1中，A2BAB1， A2BC1或其补角即为所求 A2B2BCA2C， AB1与C1B所成角的大小等于90.,方法技巧 求异面直线的夹角有两种方法：几何法和向量法利用几何法(平移法)求解时，可过线段的端点或中点作平行线，有时还可选择空间一点(确定点)作两条直线的平行线；利用向量法求解时可利用向量的线性运算，也可通过建系求解,(2009全国，5)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 ( ) 答案：C,解析：连结A1B， 则有A1BCD1， A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，
11、在ABE中，AB1，AEA1E1，BE A1E1，A1B 由余弦定理可知：,已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为( ) 意图：本小题考查了异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角，一般是过其中一条异面直线上的一点，作另一条异面直线的平行线，将所求角放在三角形中求解 答案：C,解析：如图，连结BD，取BD中点O，连结EO，则EOSD. AEO为异面直线AE与SD所成的角 设正四棱锥的棱长与底面边长为a，则AE,总结评述：求异面直线所成的角，一般总是作其中一条直线或两条直线的平行线，平移成相交，放在一个三角形中去求基本思想有时往往是解题的最
12、佳思想，可以很快的帮你找到解题思路.,【例2】 (2009北京，16)如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上 (1)求证：平面AEC平面PDB； (2)当PD AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小,解析 (1)四边形ABCD是正方形， ACBD. PD底面ABCD， PDAC. AC平面PDB. 平面AEC平面PDB.,(2)设ACBDO， 连结OE. 由(1)知AC平面PDB于O. AEO为AE与平面PDB所成的角 O，E分别为DB，PB的中点， OEPD，OE 又PD底面ABCD， OE底面ABCD，OEAO. 在RtAOE中， AEO4
13、5，即AE与平面PDB所成的角为45.,已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 ( ) 答案：A 解析：解法一：设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a， O为底面中心(OA为ABC外切圆半径)，,侧棱与底面所成的角为SAO的余弦值为 故选A.,解法二：设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a， O为底面中心，SAO为SA与平面ABC所成的角,已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 ( ) 答案：B,解析：设棱柱的侧棱与底面边长均为a，O为ABC的中心，如图，连接AO，则A
14、O,A1O平面ABC，A1O 又在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1平面ABC， 点B1到平面ABC的距离 连接AB1、A1B、BO，设A1B与AB1交点为H. 在RtA1BD中，A1Ba. 四边形AA1B1B为菱形，A1HAB1，,总结评述：本题以三棱柱为载体，考查了线面角的求法以及空间想象能力本题求解时，不易作出直线AB1和平面ABC所成的角(虽然能够过B1作平面ABC的垂线，但垂足的位置不易确定)但由于A1B1平面ABC，因此点A到平面ABC的距离也就是点B1到平面ABC的距离，这样点B1到平面ABC的距离可求，因此只需求出AB1的长度即可.,【例3】 (2009全国，19)如图，四棱
15、锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD，DCSD2.点M在侧棱SC上，ABM60. (1)求证：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角SAMB的大小,分析 本题主要考查空间中的线面、面面关系及求解二面角大小的能力、空间想象能力 解析 (1)证明：作MECD交SD于点E，则MEAB，ME平面SAD. 连接AE，则四边形ABME为直角梯形 作MFAB，垂足为F，则四边形AFME为矩形,所以M为侧棱SC的中点,(2)解：MB 2，又ABM60，AB2，所以ABM为等边三角形 又由(1)知M为SC中点， SM ，SA ，AM2， 故SA2SM2AM2，SMA90. 取AM中点G，连接BG，取SA中点H，连接GH，则BGAM，GHAM.由此知BGH为二面角SAMB的平面角,连接BH.在B
