《2018高考数学一轮复习 空间向量及其运算（理）课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高考数学一轮复习 空间向量及其运算（理）课件（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节 空间向量及其运算（理）,一、空间向量的概念,大小 方向,1,模为0,相同 相等,长度 模,方向,模,互相平行,重合,平行向量,平面,ab,二、空间向量中的有关定理,如图所示，点P在l上的充要条件是： 其中a叫做直线l的方向向量，tR，在l上取 a，则可化为 或 (1t),ab,不共线,px ay b,不共面,基底,基向量,px ay bzc,三、向量的运算 1空间向量的加法和减法 类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法 运算(如图)：,2空间向量的数乘 实数与空间向量a的乘积 仍然是一个向量，称为 当0时，a与a方向 ；当0时，a与a方 向 ； a的长度是a的长度的|倍,数乘
2、,相同,相反,a,四、空间向量的数量积 1空间向量a、b的数量积ab ,|a|b|cosa，b,同向,反向,ab,2空间向量a、b的夹角a，b的取值范围是0，其 中当a，b0时，a和b ；当a，b时，a 和b ；当a，b 时， .,3空间向量数量积的性质 (1)|a| ； (2)ab ； (3)cosa，b ,ab0,abba,a(bc)abac,(ab)(a)ba(b)(R),4空间向量数量积的运算律 (1)交换律： ； (2)分配律： ； (3)结合律： ,如何利用数量积证明ab.,提示：ab=|a|b|,1已知空间四边形OABC中， ，点M 在OA上，且OM2MA.N为BC中点，则 (
3、),解析：显然,答案：B,2与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是( ),解析：可知性 ，选C.,答案：C,B.（-1，-3，2）,3如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与 BD的交点，若 ，则下列向量 与 相等的向量是 ( ),答案：A,解析：,4已知A(1，2,6)，B(1,2，6)，O为坐标原点，则向量 与 的夹角是_,解析：由cos1知.,答案：,5已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是 对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且 ，现 用基底 表示向量 则x、y、z的值分别为_,解析：,答案：,用已知向量表示未知向量，一定要结合图形可从
4、以下角度入手： 1要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来 2把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和 差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系 3用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底 的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法， 如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘,如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设 M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,将所表示向量置于三角形或多边形中利用三角形法则或多边形法则可求.,【解】（1）P是C1D1的中点，,(2) N是BC的中点，,(3) M是AA1的中点，,又,1在例
5、1的条件下，若 2 ，试用a， b，c表示,解：如图：连接AF 由已知ABCD是平行四边形，,由已知：,故 =a+c,-a+c.,又,（a+c），,应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面 1证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点 共线,（2）对空间任一点O，,（3）对空间任一点O，,2证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四 点共面,（2）对空间任一点O,（3）对空间任一点O，,或 或,如图所示，已知 ABCD是平行四边形，P点是 ABCD所在平面外一点，连接 PA、PB、PC、PD.设点E
6、、F、 G、H分别为PAB、PBC、 PCD、PDA的重心 (1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法 证明你的判断,(1)可构造证明 (2)只需证明EG平面ABC，EF平面ABC.,【解】 (1)证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点 因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心 所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有：,因为MNQR是一个平行四边形，所以,由共面向量定理知E、F、G、四点共面.,又,所以,(2)由(1)得 又因为EG平面ABC，所以EG平面A
7、BC. 因为 所以MNEF， 又因为EF平面ABC，所以EF平面ABC. 由于EG与EF交于E点， 所以平面EFGH与平面ABCD是平行平面,所以,2在以下命题中，不正确的命题个数为 ( ) (1)已知A、B、C、D是空间任意四点，且 0. (2)|a|b|ab|是a、b共线的充要条件 (3)若a与b共线，则a与b所在直线平行,.,(4)对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、zR)，则P、A、B、C 四点共面 A1 B2 C3 D4,解析： (1)正确；若a，b同向共线，则|a|b|ab|，故(2)错；由向量平行知(3)不正确由空间向量共面知(4)不正确，故共有三个命题不
8、正确,答案：C,1方法 应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取空间向量 的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及 各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标系运算来 解决后者更为简捷,2应用类型 (1)证明线线垂直，转化为证abab0，若a(a1，a2， a3)，b(b1，b2，b3)，则转化为计算a1b1a2b2a3b30； (2)在求立体几何中线段的长度时，转化为求aa|a|2， 或利用空间两点间的距离公式,如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心 (1)试证A1、G、C三点共线； (2)试证A1C平面BC1D； (3)求点C到平面BC1D的距离
9、,(1)即证 . (2)可证 0， 0. (3)利用 可求.,【解】（1）证明：,即A1、G、C三点共线.,(2)证明：设 则|a|b|c|a， 且abbcca0. 又BDBC1B 因此A1C平面BC1D.,(3)由(2)知，A1C平面BC1D，则C到平面BC1D的距离为|CG|，,由（1）知,3已知一个 60的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别 是在这两个面内且垂直于AB的线段又知AB4，AC6， BD8， 求：(1)CD长； (2)AB与CD成的角的余弦值,空间向量及其运算.高考中很少单独命题，常以工具性知识与方法在解答题中考查位置关系的证明、判断及空间角的计算.对解决一些探索性问题
10、更有独到之处.2009年全国卷中利用向量法求线段长（转化为坐标值）及线面用的大小突出了空间向量这一工具知识的作用.,(2009全国卷)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1. (1)证明：AB=AC； (2)设二面角A-BD-C为60， 求B1C与平面BCD所成的角的 大小,解 (1)证明：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-xyz. 设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)， 则B1(1,0,2c)，E( ) 于是 由DE平面BCC1知DEBC， 0， 求得b1，所以ABAC.,(2)设平面BCD的法向量 (x，y，z)，,令x=1,则y=1,又平面ABD的法向量,由二面角A-BD-C为,故 cos60，求得c 于是 (1,1， )， (1，1， )， cos 60. 所以B1C与平面BCD所成的角为30.,利用向量坐标法证明平行、垂直或计算距离、空间角时，首先要准确地建系并写出相关点的坐标，然后根据条件进行运算在解题过程中，要注意向量的坐标运算，法向量的取法同学们思考一下：在(2)条件下能否求出二面角ACDB的大小,
