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1、5.1 平面向量的概念及线性运算,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.向量的有关概念,知识梳理,大小,方向,长度,模,0,0,1个单位,相同,相反,相等,相同,相反,相等,平行,相同,相反,2.向量的线性运算,平行四边形,三角形,ba,a(bc),几何画板展示,几何画板展示,三角形,|a|,相同,相反,()a,aa,ab,0,几何画板展示,3.共线向量定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.,1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后 一个向量终点的向量， 特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为
2、零向量.,2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 . 3. (，为实数)，若点A，B，C共线，则1.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.( ) (3)若ab，bc，则ac.( ) (4)若向量 与向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上. ( ) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.( ),1.给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量 相等.则所有正确命题的序号是 A. B. C. D.,
3、考点自测,根据零向量的定义可知正确； 根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；,答案,解析,2.(教材改编)D是ABC的边AB上的中点，则向量 等于,答案,解析,如图，,3.对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,当ab0时，ab，ab； 当ab时，不一定有ab， “ab0”是“ab”的充分不必要条件.,A.2 B.1 C.1 D.1,4.已知a，b是不共线的向量， 那么A，B，C三点共线的充要条件是,答案,解析,所以abt(ab)tatb，,5
4、.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， 则_.,答案,解析,2,题型分类 深度剖析,例1 给出下列四个命题： 若|a|b|，则ab； 若A，B，C，D是不共线的四点，则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若ab，bc，则ac； ab的充要条件是|a|b|且ab. 其中正确命题的序号是 A. B. C. D.,题型一 平面向量的概念,答案,解析,不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.,又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，,正确.ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc， b，c的长度相等且方向相同，a
5、，c的长度相等且方向相同， 故ac.,不正确.当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab， 故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是.故选A.,向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.,思维升华,跟踪训练1 设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a
6、0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题； 若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况： 一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题. 综上所述，假命题的个数是3.,例2,题型二 平面向量的线性运算,命题点1 向量的线性运算,答案,解析,答案,解析,例3 (1)设D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，,答案,解析,命题点2 根据向量线性运算求参数,(2)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且 ，点O在线段CD 上(与点C，D不重合
7、)，若 ，则x的取值范围是,答案,解析,思维升华,平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则. (2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则； 求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则. (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.,跟踪训练2 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中， 则的值为,答案,解析,求证：A，B，D三点共线；,例4 设两个非零向量a与b不共线.,题型三 共线定理的应用,又它们有公
8、共点B，A，B，D三点共线.,证明,(2)试确定实数k，使kab和akb共线.,解答,假设kab与akb共线， 则存在实数，使kab(akb)， 即(k)a(k1)b. 又a，b是两个不共线的非零向量， kk10. 消去，得k210，k1.,(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. (2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线.,思维升华,跟踪训练3,A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C
9、，D三点共线,A，B，D三点共线.故选B.,答案,解析,(2)如图所示，设O是ABC内部一点，且 ，则ABC与AOC的 面积之比为_.,O是AC边上的中线BD的中点， SABC2SOAC， ABC与AOC面积之比为2.,答案,解析,2,下列叙述错误的是_. 若ab，bc，则ac. 若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同. |a|b|ab|a与b方向相同. 向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba. 若ab，则ab.,现场纠错系列4,错解展示,现场纠错,纠错心得,典例,容易忽视的零向量,返回,解析,答案 ,解析 对于，当b0时，a不一定与c平行. 对于，当a
10、b0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同. 对于，当a，b之一为零向量时结论不成立. 对于，当a0且b0时，有无数个值； 当a0但b0或a0但b0时，不存在. 对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以 . 对于，当0时，不管a与b的大小与方向如何，都有ab， 此时不一定有ab. 故均错. 答案 ,返回,在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.,返回,课时作业,1.已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是 A.ab0 B.ab C.a与b共线反向 D.存在正实数，使ab,因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则a与b共线同向，故D正确.,答案,解析,1,2,3
11、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc等于 A.a B.b C.c D.0,依题意，设abmc，bcna， 则有(ab)(bc)mcna， 即acmcna. 又a与c不共线，于是有m1，n1， abc，abc0，选D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.A，B，C B.A，B，D C.B，C，D D.A，C，D,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上 C.点P在线段AC上 D.点P
12、在ABC外部,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O 的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ， ，则mn的值为,A.1 B.2 C.3 D.4,O为BC的中点，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,取BC的中点D，连接PD，AD，则PDBC，,答案,解析,A，P，D三点共线，ABAC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2015课标全国)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.,答案,解析,向量a，b不平行，a2b0，又
13、向量ab与a2b平行， 则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1， 若起点和终点均在格点的向量a，b，c,满足cxayb (x，yR)，则xy_.,答案,解析,如图，取单位向量i，j，则ai2j，b2ij，c3i4j. cxaybx(i2j)y(2ij)(x2y)i(2xy)j，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若A，B，D三点共线，则实数p的值是_.,2apb(2ab)， a，b不共线，22，p，1，p1.,1,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图所示，连接AM并延长交BC于点D，则D为BC的中点.,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.如图，在ABC中，D、E分别为BC、AC 边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.设a，b是不共线的两个非零向量.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,即3a2b2akb，
