《2018届高三数学第一轮总复习 11.4 导数的应用课件（1）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学第一轮总复习 11.4 导数的应用课件（1）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,排列、组合、二项式定理和概率,第 十 一 章,1. 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间-2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.,题型3 利用导数研究函数的最值,第一课时,11.4 导数的应用,解：(1)f (x)=-3x2+6x+9. 令f (x)0，解得x-1或x3，所以函数f(x)的单调递减区间为(-，-1)(3，+). (2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a， f(2)=-8+12+18+a=22+a， 所以f(2)f(-2). 因为在(-1，3)上，f (x)0， 所以f(x)在-1，2上单调递增
2、.,又由于f(x)在-2，-1上单调递减， 因此，f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间 -2，2上的最大值和最小值.于是有22+a=20，解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2. 因此f(-1)=1+3-9-2=-7. 即函数f(x)在区间-2，2上的最小值为-7. 点评：求函数在指定区间a，b上的最值，一般先求区间a，b上的极值点，然后比较极值点与区间端点函数值的大小.,函数f(x)=-3x4+6x2-1在-2，2上的最大值为( ) A. -1 B. 0 C. -25 D. 2 解：令f (x)=-12x3+12x=0，解得x=0或x=1， 又f(2)=-25，f(1)=2
3、，f(0)=-1， 所以f(x)max=2，故选D.,D,2. 已知函数f(x)=x4-4x3+mx2-1在区间 0，1上是增函数，在区间1，2上是减函数，而g(x)=nx-1.若方程f(x)=g(x)恰好有四个不等的解，求n的取值范围. 解：易得f (x)=4x3-12x2+2mx， 由单调性得f (1)=0，所以m=4. 从而由f(x)=g(x)得x=0或n=x3-4x2+4x，(*) 可得(*)式有三个不为0的不等根.,题型4 利用导数研究函数的图像,所以0n ,即n的取值范围为(0， ).,设y1=n,y2=x3-4x2+4x,则两函数 y1、y2的图象有三个不同的交点,又 y2=3x
4、2-8x+4=(3x-2) (x-2)=0,所以x= 或x=2,易得x= 时,y2取极大值,为 ;x=2时, y2取极小值,为0. 所以函数 y1、y2的图象为：,点评： 方程解的问题可以转化为函数图象交点问题，通过导数研究函数图象的性质，再结合图象的性质观察交点情况，由图象直观地得出相应的结论，这既体现了函数与方程思想，又体现了数形结合思想.,求函数f(x)=x3-x2-x+2的图象与x轴的交点的个数. 解：f (x)=3x2-2x-1， 令f (x)=0，解得x=- 或x=1. 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表：,又f(- )= ，f(1)=1. 故可得f(x)的大致图
5、象如下: 由此可知，f(x)的图象与x轴只有一个交点.,3. 用总长14.8 m的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积. 解：设容器底面边长为x m，则另一边长为(x+0.5)m，高为3.2-2x，由3.2-2x0和x0,解得0x1.6. 设容器的容积为y m3，则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x) (0x1.6)， 即y=-2x3+2.2x2+1.6x.,题型5 导数在实际问题中的应用,令y=0，有-6x2+4.4x+1.6=0， 即15x2-11x-4=0， 解得x1=1，x2=- (不合题意，舍去)
6、. 所以当x=1时，ymax=-2+2.2+1.6=1.8 (m3). 点评：涉及实际问题的最值问题，一般是利用函数知识来解决，即先建立函数关系，把实际问题转化为数学问题，然后利用求函数最值的方法求得最值，注意求得的解要符合实际意义.,某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，且银行吸收的存款能全部放贷出去.求： (1)若存款的利率为x, x(0，0.048),试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)的函数表达式； (2)存款利率定为多少时,银行可获得最大收益？ 解：(1)由题意，存款量g(x)=kx2，银行应支付
7、的利息h(x)=xg(x)=kx3.,(2)设银行可获得收益为y， 则y=0.048kx2-kx3，所以y=0.096kx-3kx2，令y=0，即0.096kx-3kx2=0，解得x=0，或x=0.032. 又当x(0，0.032)时，y0，x(0.032，0.048)时，y0，所以y在(0，0.032)内单调递增，在(0.032，0.048)内单调递减. 故当x=0.032时，y在(0，0.048)内取得极大值，即最大值，即存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益.,1. 注意极值与最值概念的联系与区别，极值是一个局部概念，而最值是一个整体概念，两者既有联系又有区别.最值可能是极值，极值也可能是最值，但极值不能在区间端点产生；最大值一定不小于最小值，但极小值不一定小于极大值. 2. 函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值.,3. 求可导函数在闭区间上的最值，只要在求极值的基础上，再与区间端点的函数值作比较就能得出结论.在实际应用问题中，有时会遇到函数在开区间或无穷区间内只有一个驻点的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么它就是函数的最大(小)值点.,
