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1、1第一次讨论作业题建模作业（1）第 3 组（1）摘要：一家有 80000 订户的地方日报计划提高其订阅价格。现在的价格为每周 1.5美元。据估计如果每周提高订价 10 美分，就会损失 5000 订户。问题：（1）求使利润最大的订阅价格？（2）对（1）中所得结论讨论损失 5000 订户这一参数的灵敏性。分别假设这个参数值为：3000、4000、5000、6000 及 7000，计算最优订阅价格。（3）设 n=5000 为提高定价 10 美分而损失的订户数。求最优订阅价格 p作为 n 的函数关系。并用这个公式来求灵敏性 S(p,n)。 （4）这家报纸是否应该改变其订阅价格？用通俗易懂的语言说明你的
2、结论。1.问题分析与假设、符号说明涉及的变量1).地方日报订户 W(户)2).地方日报的订价 p(美元)3).订价上升 r(美分)涉及的常量1).地方日报的初始订户 80000(户)2).地方日报的初始订价 1.5(美元)3).为提高定价 10 美分而损失的订户数 n(户)4).订户损失率 s(户/美分)5).利润 M(美元)变量之间的关系假设 1:地方日报的订价从初始的 1.5(美元) 上升 r(美分)，于是有关系p(美元 )=1.5(美元)+r( 美分)/100假设 2:地方日报的初始订户 80000(户)按 s(5000 户/10 美分)损失，于是有关系W(户 )=80000s(户/美分
3、) r(美分)因此，我们有如下关系式:利润 M(美元)=W(户) p(美元)分析：利润最大时的价格即为所求价格，转换成数学表达式就是当 M 达到最大时，求 p 值，要求 P 的值需先求 r 的值，p 的表达式为：p=1.5+r/100其中 M 的表达式为：M=Wp=(80000sr)(1.5+r/100)2.建立数学模型由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：M=Wp=(80000sr)(1.5+r/100)其中，s 模型参数，此处取值为 s=5000/10=500(户 /美分)3.模型求解2当 s=500 时，这是一个单变量 r 的函数的最优化问题，而且 M(r)是一个连续可微的函数。可
4、以利用微积分知识求解，其求解过程如下：(1)求驻点：M(r)=sr/50+8001.5s驻点为：r=(8001.5s)50/s代入常量参数得到： r*=5(美分)，M(r)=120125 ( 美元 )由 p=1.5+r/100 得 p=1. 55(美元)至此，我们可以回答原来的问题(1)，利润最大时的订阅价格为 1.55 美元4.灵敏性分析在前面，我们假设订户损失率 s=5000/10 =500(户/ 美分)。考虑 s 发生变化时，这一参数的灵敏性，s 分别3000/10、4000/10、5000/10、6000/10、7000/10，计算最优订阅价格的订户损失率 s 最大利润 M 最优订阅价
5、格 P 价格提高值 r3000/10 152708.33 2.08 58.334000/10 122500.00 1.75 255000/10 120125.00 1.55 56000/10 120416.67 1.42 8.337000/10 122232.14 1.32 17.86由此可以回答原来的问题(2)，最优订阅价格分别为2.08、1.75、1.55、1.42、1.32(美元)由利润 m 的关系式M=Wp=(80000sr)(1.5+r/100)求驻点：M(r)=sr/50+8001.5s令 M(r)=0 得r=（8001.5s）50/s (1)把 p=1.5+r/100 和 s=n
6、/10 代入(1)得p=0.75+4000/nS(p,n)=(dp/dn) n/p=(4000)/(np) (2)3把 n=5000 和 p=1.55 代入 (2)得S(p,n)=0.516由此可以回答原来问题(3),最优订阅价格 p 作为 n 的函数关系为p=0.75+4000/n灵敏性 S(p,n)= 0.5165.稳定性与稳健性由于 S(p,n)=0.516,假设每周提高 10 美分订户损失 n 实际为 4000 到 6000户之间，即为预期值的 20%内，则最优订阅价格 1.55 的 10.32%之内变化，即1.39 到 1.71 美元之间。我们来考察仍在 1.55 美元所得的利润。每
7、周提高 10 美分所损失的订户n最大利润 M(美元)订价为 1.55 美元所得利润(美元)损失(美元 ) 损失率4000 122500.00 120900.00 1600.00 1.31%6000 120416.67 119350.00 1066.67 0.86%有表格可得：在 n 值从 4000 与 6000 之间发生变化时，最大利润(订价为 1.55 美元时)有一定的波动，由 119350.00(n 为 6000 时)120000.00(不改变订价时)120900.00(n为 4000 时)可得 :在 n 值不是完全精确的条件下，提高订价不一定提高利润。下面讨论在 n 值是否精确的条件下，
8、提高订价对总利润的影响1) 当 n 值十分精确时，提高订价所获得的最高利润为 120125.00 美元，利润提高率为（120125.00120000）/120000=0.001=0.1% 由此可知提高订价对利润的提高影响十分微小。2) 当 n 值不完全精确时，假定 n 值在 4000 到 6000 内，则有上面表格可知提高订价不一定提高利润。当 n=4000 时，利润提高率达到最大为(120900120000)/120000=0.0075=0.75% 对总利润影响微小；当 n=6000时，利润提高率达到最小为(119350120000)/120000=0.0054=0.54% 对总利润的影响也是十分微小。综上所述，提高订价对总利润的影响十分微小。由此可以回答原问题(4): 该报社不应该提高订价来提高总利润。无论数据n(每周提高订价 10 美分，就会损失 5000 订户)是否精确，提高订价对总利润的影响都是十分的微小，即提高订价来提高总利润是没有实际意义的，所以这家报纸不应该改变其订阅价格。(完)
