【精选】第22章作业分析

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1、1第二十二章量子力学基础作业分析 2008/12/26/22.1 电子显微镜中电子从静止通过电势差为 的电场得到加速，电子的德布罗意波长 0.04m，问 是多少？0U 0U解： 根据 ，有 nm25.1v Vv938)4.251().(这样的电压不高，电子速度不会很大，可以用非相对论公式。22.2 在电子显微镜中，以电子束代替光束，以电聚焦场和磁聚焦场代替折射透镜。显微镜在最佳情况下，能分辨的最小距离(显微镜的分辨本领) 大致等于显微镜所用的电子波长。一般的电子显微镜可采用电势差为50kV 的电场加速电子，试计算这种显微镜能够分辨的最小距离。解： 由例题 22.1 可以看到，当加速电压小于 1

2、05V 时，计算电子波长时相对论效应是可以忽略不计的，可以直接应用（22-3 ）式 nm10.02.15. 33U故这种电子显微镜可以分辩的最小距离约为 。5.22.3 动能为 104eV 的电子，其德布罗意波长是多少？如果电子通过直径 0.1mm 的圆孔，电子表现出粒子性还是波动性？解：动能 的电子，相当于电子经过 的电场加速后的情况，其德布罗意波长为：eV10kE V104nm25.125. 24U由于电子的波长远小于圆孔直径（0.1mm） ，电子通过圆孔时将表现出粒子性。22.4 为了探测质子的内部结构，曾在斯坦福直线加速器中用能量为 22GeV 的电子做探测粒子轰击质子。这样的电子的德

3、布罗意波长是多少？已知质子的线度为 1015m，这样的电子能用来探测质子内部的情况吗？解： 电子动能已达到 22 GeV，必须考虑相对论效应，根据相对论动量与动能的关系 ，021EcPk电子的德布罗意波长为 02EhcPk m7.506.105.236. 119984 这样的电子可以用来探测质子内部的情况。22.5 试证：在均匀磁场中运动的带电粒子，其波长与它在这磁场中轨迹的曲率半径成反比。证：设磁感应强度为 B，带电粒子电量为 q，质量为 m，在磁场中作圆周运动的半径为 R，电子运动的向心力由洛仑兹力提供 则 电子的动量 Rvmq2RqBv电子的德布罗意波长 即电子的德布罗意波长与曲率半径

4、R 成正比。Bhv22.6 室温(300K) 下的中子称热中子，求热中子的德布罗意波长。2解： 室温下的中心处于热平衡状态时，其平均速率 m/s1052.1067.380.16. 32nmkTv中子的德布罗意波长为 nm.052.1067. 34mvh22.7 具有能量 15eV 的光子被氢原子中处于第一波尔轨道的电子吸收而形成一光电子，此光电子远离质子时的速度为多少？其德布罗意波长为多少？解：光子被氢原子中的电子吸收，电子脱离氢原子核（质子） ，这实际上是一个光电效应过程，电子的结合能就是其电离能，根据光电效应方程，光电子的动能 eV4.1635bkEh上式中 ，因为该电子是氢原子的基态电子

5、。脱离原子核后的电子其动能 是很小的，eV6.13bE .kE故不必考虑相对论效应，电子的速度： m/s02.710.9642539mEvk电子的德布罗意波长为： n4.0.71.96953 h22.8 证明氢原子圆形玻尔轨道周长是电子德布罗意波长的整数倍。这是一种物质波驻波。证：根据玻尔角动量量子化假设， ，以及德布罗意关系式 ，则圆形玻尔轨道的周,2,nmrv mvh长nmvrs222.9 铀核的线度为 7.21015m，求其中一个质子的动量和速度的不确定量。(不确定关系式为 )。xp质子在铀核中运动，可以取铀核的线度为质子位置的不确定量， ，根据不确定关系mx1502.7，质子动量的不确

6、定量xp解： /skg1047.102.7523hP质子速度的不确定量 m/s108.6. 6270mPvx22.10 试证：在确定一个运动粒子位置时其不确定量若等于其德布罗意波长，则同时确定该粒子的速度的不确定量约等于此粒子的速度(不确定关系式 )。hpx解：根据题意，粒子位置的不确定量等于其波长，有 xvhp由不确定关系式 ，有 取等号，则 hpx xxxmvhvpx22.11 电视机显象管中电子的加速电压为 9kV，电子枪枪口直径取 0.50mm，枪口离荧光屏距离为 0.30m，求荧光屏上一个电子形成的亮斑直径。这样大小的亮斑影响电视图象的清晰度吗？解： 电子在电子枪中经 电场加速，获得

7、动能 ，其纵向速度（取为 y 方向，且不需kV9UKeV9UEk3考虑相对论效应） 21KeV9ykmvE m/s1063.510.9627319Eky电子出枪口时，由于波动性，在垂直枪管方向上将有一横向速度 ，可以用不确定关系估算（不确定关系xv）,2xpxvx2可以取枪口直径, m/s12.05.10.9334mx这样的横向速度 ，并不影响电子的运动。yxv电子脱离电子枪口后，不论是纵向还是横向都作匀速直线运动，电子从枪口到荧光屏所需的时间为 yvLt故屏上的亮斑直径 LvtRdyxx22 nm28.1028.1063.597这样大小的亮斑不影响电视图像的清晰度。22.12 测出密度为 1

8、.2gcm3 的球形病毒的直径为 5.0nm，试用不确定关系估算病毒的最小速率。解：病毒位置的不确定量可以取病毒的线度作为估算，即 ，病毒的质量 nmx0.534RU式中 根据不确定关系式:nm5.2,kg/102.g/cm.133R939343 105).(.64 xRhxv m/s7.1/s07.3病毒的速度一定大于速度的不确定量，即 ，故最小速度xv/.xv22.13 波长 的光沿 x 轴正向传播，若光的波长的不确定量 ，则利用不确定关系式n50 n104，可得光子的 x 坐标的不确定量至少为多少？hpx解： 光谱线的自然宽度可以作为波长的不确定量，与动量的不确定量的关系为 hphp这样

9、，由不确定关系 ，可以得位置的不确定量与波长的不确定量的关系：hpx即 hpx22x位置的最小不确定量应对上式取等号: m10.4n10.4108.6324322.14 如果一个电子处于原子某能态的时间为 10-8s，该原子的这个能态的最小不确定量是多少？(不确定关系式 。)E解：设电子从上述能态跃迁到基态，对应的能量为 3.39eV，试确定所辐射光子的波长及这波长的最小不确定量根据不确定关系式 ，该能态的最小不确定量E4eV1059.6J105.105. 82834 E电子从该能态跃迁到基态，对应的能量 ，辐射光子的频率为 ，波长 ,即3.EhEcnmEhc 671067.3106.392.

10、984对 两边求不确定量（微分）: Ehc2可得: = 21968342 )06.(5.106. Ehc nm103.7103.76522.15 一个宽度为 a 的一维无限深方势阱，试用不确定性关系估算其中质量为 m 的粒子的零点能。(不确定关系式 2xp解：取势阱宽度 a 为粒子位置的不确定量， ，粒子的动量 最小应等于其不确定量，即 ，axxp xp由不确定关系式 2xppx 22势阱中势能为零，粒子的能量 28maExk最低能量即零点能为 218ma22.16 在一维无限深方势阱中，当粒子处于 n=3 时，求发现粒子概率最大的位置及发现粒子概率最小的位置。解：一维无限深势阱中粒子波函数

11、，。xaxn 3,21,si2)(当粒子处于 n=3 的量子态时，波函数 xasin)(3概率密度函数 axsi2)()(33发现粒子概率最大的点可令 得到，即 1sin 2,10,)12(3kskx； ； ； ，x 已超越阱外，不可取。6,0axk3,1axkaxk65,2发现粒子概率最小的点可令 得到，即 0sin 2,103k5； ； ； ； ，x 已超越阱外，不可取。0,xk3,1axkaxk32,axk,4k22.17 已知粒子波函数 ，试求发现该粒子的概率密度函数。)()( tkxitkxiee解：概率密度函数 ，将波函数 代入，2)(x)(*2x)()()()( tkxitkxi

12、tkxitkxi eeee titie22)cos1tt2cos422.18 一维运动的粒子，处于如下波函数所描述的状态： )0(0)(xAxe式中 。试求(1) 波函数 的归一化常数 A；(2) 粒子的概率密度函数；(3) 在何处发现粒子的概率最0)(x大。解：（1）归一化常数由归一化条件 计算。将波函数代入021)(dx14)( 320022 dxeAdx 2/3A)0()(2/3（2）粒子的概率密度函数 )0(4)( 232 xexxx（3）发现粒子的概率最大处，可令 计算 0)(d 8)4)( 23223 xeedx可得 0)1(2xxe1,321xx显然，在 x=0 和 处， 为极小值，所以在 处发现粒子的概率最大。)(,0)(1x