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1、【成才之路】2014-2015学年高中数学 第四章综合素质检测 北师大版选修1-1时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a()A2B3C4D.5答案D解析f (x)3x22ax3，由条件知，x3是方程f (x)0的实数根，a5.2设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f (x)()A等于0B小于0C等于1D不确定答案A解析Mm，f(x)在a，b上为常数，f (x)0.3(2014淄博市临淄区
2、学分认定考试)下列函数中，x0是其极值点的函数是()Af(x)x3Bf(x)cosxCf(x)sinxxDf(x)答案B解析对于A，f (x)3x20恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f (x)sinx，当x(，0)时，f (x)0，故f(x)cosx在x0的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以x0是f(x)的一个极小值点；对于C，f (x)cosx10恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)在x0没有定义，所以x0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.4(2013北师大附中高二期中)已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a
3、的取值范围是()A(，)(，)B(，)C(，)D，答案D解析f (x)3x22ax1，f(x)在(，)上是单调函数，且f (x)的图像是开口向下的抛物线，f (x)0恒成立，4a2120，a，故选D.5(2014辽宁省协作校联考)若点P(a，b)在函数yx23lnx的图像上，点Q(c，d)在函数yx2的图像上，则(ac)2(bd)2的最小值为()A.B2 C2D8答案D解析设与直线yx2平行且与函数yx23lnx的图像相切的直线为yxm，且切点为(x0，y0)，yx23lnx，y|xx02x|xx02x01，x00，x01，y01，m2.切线方程为xy20，两平行线间距离d2，(ac)2(bd
4、)2d28.6(2014天门市调研)已知函数f(x)asinxbcosx在x时取得极值，则函数yf(x)是()A偶函数且图像关于点(，0)对称B偶函数且图像关于点(，0)对称C奇函数且图像关于点(，0)对称D奇函数且图像关于点(，0)对称答案D解析f(x)的图像关于x对称，f(0)f()，ba，f(x)asinxbcosxasinxacosxasin(x)，f(x)asin(x)asin(x)asinx.显然f(x)是奇函数且关于点(，0)对称，故选D.7(2014银川九中二模)已知f(x)x2sin(x)，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图像是()答案A解析f(x)x2cosx，f(
5、x)xsinx，1sinx1，且f (x)f (x)，f (x)为奇函数，排除B、D；令g(x)xsinx，则g(x)cosx，当x(0，)时，g(x)0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则lnx，由函数f(x)lnx与y的图像有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则tanx，即sinxcosx1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则x1，即x3x2x10，设函数g(x)x3x2x1，g(x)3x22x10且g(1)0，显然函数g(x)在(1,0)上有零点，原函数有巧值点，故正确，选
6、C.9(2013华池一中高二期中)若关于x的方程x33xm0在0,2上有根，则实数m的取值范围是()A2,2B0,2C2,0D(，2)(2，)答案A解析令f(x)x33xm，则f (x)3x233(x1)(x1)，显然当x1时，f (x)0，f(x)单调递增，当1x1时，f (x)0得1x1，故选C.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11(2014宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)x32x21相切的直线l的方程是_答案4xy70或y1解析设切点为(x0，x2x1)，由kf (x0)3x4x0，可得切线方程为y(x2x1)(3x4x0)(
7、xx0)，代入点P(2,1)解得：x00或x02.当x00时切线方程为y1；当x02时切线方程为4xy70.综上得直线l的方程是：4xy70或y1.12已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为_答案c0.解得c1e，从而f(x)maxf(1)1.14(2014沈阳质检)已知函数f(x)x(xa)(xb)的导函数为f(x)，且f(0)4，则a22b2的最小值为_答案8解析f(x)x(xa)(xb)，f(x)(xa)(xb)x(xa)(xb)，f(0)ab4，a22b22ab8.15(2014湖北重点中学高二期中联考)已知函数f(x)ax3ax22ax2a1的图像经过四个象限，则实数
8、a的取值范围是_答案(，)解析f (x)ax2ax2aa(x1)(x2)，由f(x)的图像经过四个象限知，若a0，则此时无解；若a0，则a，综上知，a0，且f(x)的极大值为5，极小值为1，求f(x)的解析式答案f(x)x33x21解析f(x)x3ax2b，f(x)3x22ax.令f(x)0，得x0或x.又a0，0.当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，所以应有2a4，解得6a3.18用总长为14.8m的钢条制成长方体容器的框架，如果容器的底面的长比宽多0.5m那么高为多少时容器的容积最大？并求最大容积答案高1.2m最大容积1.8m3解
9、析设容器面宽为xm，则长为(x0.5)m，高为(3.22x)m.由，解得0x1.6.设容器的容积为f(x)m3，则有f(x)x(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x，f(x)6x24.4x1.6.令f(x)0，即6x24.4x1.60，解得x1或x(舍去)在定义域(0,1.6)内只有一个点x1使f(x)0，且x1是极大值点，当x1时，f(x)取得最大值为1.8.此时容器的高为3.221.2m.因此，容器高为1.2m时，容器的容器最大，最大容积为1.8m3.19已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值答案(1)(，1)和(3，)(2)最小值7解析(1)f (x)3x26x9.令f (x)0，解得x3，函数f(x)的单调递减区间为
