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1、【成才之路】2014-2015学年高中数学 4.3 定积分的简单应用基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1求曲线yx2与直线yx所围成图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dxBS(xx2)dxCS(y2y)dyD.S(y)dy答案B解析作出图形，容易判断应选B.2由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A.B.4C.D.6答案C解析由题意知，所围成的面积(x2)dx(xx22x)|44224.点评本小题重在考查由两条曲线与y轴所围成的曲边形的面积，要注意用函数值较大的减去函数值较小函数的积分值，并注意积分上、下限范围3(2014广州模拟)物体A以v3t31(m/s)的速度在一
2、直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3B.4C5D.6答案C解析因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)|t3t5t25(t5)(t21)0，即t5.二、填空题4(2014宁波五校联考)由曲线y2x2，直线y4x2，直线x1围成的封闭图形的面积为_答案解析联立解得直线与抛物线的交点横坐标为x1，由题意得，由曲线y2x2，直线y4x2，直线x1围成的封闭图形的面积为： (2x24x2)dx(x3
3、2x22x)|2222.5由直线yx和曲线yx3(x0)所围成的图形绕x轴旋转，求所得旋转体的体积为_答案解析由求得或所以Vx2dxx6dxx2dxx6dx.三、解答题6求由曲线y2xx2，y2x24x所围成图形的面积解析由得x10，x22.如图所示，所求图形的面积S(2xx2)dx|(2x24x)dx|(2xx2)dx(2x24x)dx(x2x3)|(x32x2)|4.一、选择题1已知自由下落物体的速度为vgt，则物体从t0到tt0所走过的路程为()A.gtBgtC.gtD.gt答案C解析t00gtdtgt2|t00gt.2如果1 N的力能把弹簧拉长1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的
4、功为()A0.18 JB0.26 JC0.12 JD0.28 J答案A解析设F(x)kx.当F1 N时，x0.01 m，则k100，所以F(x)100x，所以W100xdx50x2|0.18 J.3(2014湖北理，6)若函数f(x)，g(x)满足1f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1,1上的一组正交函数，给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是()A0B1C2D3答案C解析由题意，要满足f(x)，g(x)是区间1,1上的正交函数，即需满足f(x)g(x)dx0. f(x)g(
5、x)dxsinxcosxdxsinxdx(cosx)|0，故第组是区间1,1上的正交函数；f(x)g(x)dx (x1)(x1)dx(x)|0，故第组不是区间1,1上的正交函数；f(x)g(x)dxxx2dx|0，故第组是区间1,1上的正交函数综上，其中为区间1,1上的正交函数的组数是2.4直线y2x，x1，x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为()A.B32C.D3答案A解析由V(2x)2dx4x2dx4x2dx4x3|(81).5(2012福建理，6)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.答案C解析
6、本题考查了定积分的计算与几何概型的算法，联立O(0,0)，B(1,1)，S阴影(x)dx(x)|，P.定积分的几何意义是四边梯形的面积，几何概型的概率计算方法是几何度量的比值二、填空题6抛物线yx2与直线yx所围成的图形的面积是_答案解析如图，yx2与yx的交点坐标为(0,0)和(，)，所以所求的面积为()2()30.7曲线yex，直线x0，x与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_答案解析 (e1).三、解答题8计算(y1)2x1及yx所围的平面图形的面积分析首先画出草图(如图所示)，若选x为积分变量，则需将图形分割，运算繁琐，可选用y作为积分变量，为此求出两线交点的纵坐标，确
7、定出被积函数和积分的上、下限解析将已知条件改写为xy以及x(y1)21，由图知所求面积为阴影部分的面积解方程组得交点的纵坐标为y10及y23，因此，阴影部分面积Sy(y1)21dy(3yy2)dy.点评解此类问题要注意观察草图及被积函数式子的特点，灵活选用积分变量9如图，抛物y4x2与直线y3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动(1)求使PAB的面积为最大时P点的坐标(a，b)；(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线xa分为面积相等的两部分解析(1)解方程组，得x11，x24.抛物线y4x2与直线y3x的交点为A(1,3)，B(4，12)，P点的横坐标a(4,1)点P(a，b
8、)到直线y3x的距离为d.P点在抛物线上，b4a2，da(43aa2)(2a3)0，a.即当a时，d为最大，这时b4.P点的坐标为时，PAB的面积最大(2)设上述抛物线与直线所围成的面积为S，位于x的右侧的面积为S1.S4(4x23x)dx，S1(4x23x)dx.S2S1，即直线x平分S.10求由曲线yx2，直线yx所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积解析曲线yx2与直线yx所围成的图形如图中阴影部分设所得旋转体的体积为V，根据图像可以看出V等于直线yx，x1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线yx2，直线x1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2)因为V1x2dx(1303)，V2(x2)2dxx4dx，所以VV1V2.点评求旋转体的体积时，要先画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用定积分求解，本题中所求的旋转体的体积是由两个不同的旋转体的体积作差得到的
