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1、第四节 数系的扩充与复数的引入,基础梳理,a+bi,a,b,b,b=0,b0,a=0且b0,a=c且b=d,a=0且b=0,1. 复数的有关概念 （1）形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中a叫做复数z的实部， 叫做复数z的虚部. 对于复数a+bi(a,bR),当且仅当 时，它是实数； 当 时，叫做虚数；当 时，叫做纯虚数. （2）复数的相等 如果a,b,c,d都是实数，那么 a+bi=c+di ; a+bi=0 .,直角坐标系,实数,实轴,虚轴,原点,纯虚数,虚数,一一对应的,一一对应的,相等,互为相反数时,a-bi,2. 复平面的概念 建立 来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做 ,y
2、轴叫做 .实轴上的点都表示 ; 除 外，虚轴上的点都表示 ; 各象限内的点都表示 . 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 ，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也 是 . 3. 共轭复数概念 当两个复数的实部 ，虚部 ，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示，即 =a+bi,则 = (a,bR).,(ac)+(bd)i,交换律,结合律,4. 复数的加法与减法 （1）复数的加、减法运算法则 （a+bi）(c+di)= . （2）复数加法的运算定律 复数的加法满足 、 ，即对任何 C,有 = . （3）复数加、减法的几何意义 复数加法的几何意义 若复数 对应的向量
3、 不共线，则复数 是以 为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数. 复数减法的几何意义,(ac-bd)+(bc+ad)I,复数 是连接向量 的终点，并指向被减向量的向量 所对应的复数. 5. 复数的乘法与除法 设 =a+bi, =c+di， （1）复数的乘法运算法则 =(a+bi)(c+di)= ; 交换律 = ; 结合律 = ; 分配律 . （2）复数的除法运算法则 (a+bi)(c+di)= (c+di0).,典例分析,题型一 复数的概念 【例1】已知复数z= (1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?
4、,分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.,解 z=( -3m)+( -m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i, (1)当m=-2或m=3时,z为实数; (2)当m-2且m3时,z为虚数; (3)当m=0时,z为纯虚数; (4)当m=3时,z=0; (5)由 m(m-3)0, (m+2)(m-3)0,解得0m3, 当m(0,3)时,z对应的点在第三象限.,学后反思 利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要表现.,举一反三 1. 求适合等式（2x-1）+i=y+(y-3)i的x、y的值，其中xR，y是纯虚数.,解析：
5、 xR，y是纯虚数,可设x=a,y=bi(a,bR且b0)， 代入等式得 （2a-1）+i=bi+(bi-3)i, 即 2a-1+i=-b+(b-3)i, 2a-1=-b, 1=b-3, 解得 a= b=4, x= ,y=4i.,题型二 复数代数形式的运算 【例2】计算,学后反思 复数除法一般是将分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简.,分析 熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算 和 =2i, =i等运算结果，能使运算更加简捷.,解 原式 =,2. 求7+24i的平方根.,解析： 设平方根为x+yi(x,yR), 则 =7+24i,即 +2xyi=7+24i, =7,
6、 2xy=24,解得 x=4, y=3或 x=-4, y=-3. 故7+24i的平方根为4+3i或-4-3i.,题型三 复数集上的代数方程 【例3】(12分)已知1+i是方程 +bx+c=0的一个根（b,cR）. (1)求b,c的值;(2)试说明1-i也是方程的根.,分析 把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.,解 (1)1+i是方程 +bx+c=0的根, +b(1+i)+c=0,即（b+c）+(2+b)i=0, .2 b+c=0, 2+b=0,解得 b=-2, c=2, 4 b,c值为b=-2,c=26 (2)方程为 -2x+2=0,7 把1-i代入方程左边,得 -2(1-i)+2=
7、-2i-2+2i+2=0,10 即方程成立，所以1-i也是方程的根.12,学后反思 (1)对于实系数一元二次方程a +bx+c=0(a0), 当 时，在复数集上有两个共轭虚根 ,根与系数的关系在复数集上仍成立. (2)对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解.,举一反三 3. 已知关于x的方程 -(2+i)x-a+3i=0有一实根，且a为实数.求a的值及方程的这个实根.,解析： 设实根为 ,则 -(2+i) -a+3i=0， 整理得 -2 -a+(3- )i=0, -2 -a=0, 3- =0, 解得 =3, a=3. 故a的值为3，方程的这个实根为3.,易错警示,【例】m取何实数值时，复
8、数 是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？,错解 (1)当 =0时，即m=-5或m=2时，z是实数. (2)当 0时，即m-5且m2时，z是虚数. (3)当 =0, 0,即 m=2或m= , m-5且m2. 即m= 时，z是纯虚数.,错解分析 出错的原因是漏掉了“ 在分母上不能等于0”这一条件.m5在整个问题的解决中是个易错之处，应引起注意.,正解 (1)当 =0, 0时,解得 m=-5或m=2, m5, 即m=2, 当m=2时，z是实数. (2)当 0, 0时，解得 m-5且m2, m5, 当m5且m2时,z是虚数. (3)当 =0, 0, 0时，解得 m=2或m=-12, m-5且m2
9、, m5, 即m=-12, 当m=-12时，z是纯虚数.,考点演练,10. （2008上海）若z是实系数方程 的一个虚根，且|z|=2,则p= .,答案: 4,解析: |z|=2,1+p-1=4,p=4.,11. （2009福建改编）若 =a+bi(i为虚数单位)，a,bR,求a+b的值.,解析： =a+bi, =a+bi, 即1+i=a+bi,a=1,b=1,a+b=2.,解析： x为实数, -6x+5和x-2都是实数. 由题意得 -6x+50, x-20, 解得 1x5, x2,即1x2. 故实数x的取值范围是（1，2）.,12. 已知复数 -6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限，求实数x的取值范围.,
