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1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 必修4,三角函数,第一章,到过海边的人都知道，海水有涨潮和落潮现象，涨潮时，海水上涨，波浪滚滚，景色十分壮观；退潮时，海水悄然退去，露出一片海滩在我国，有闻名中外的钱塘江涨潮，当潮流涌来时，潮端陡立，水花四溅，像一道高速推进的直立水墙，形成“滔天浊浪排空来，翻江倒海山为摧”的壮观景象科学地讲，潮汐是海水在月球和太阳引潮力作用下发生的周期性运动，是海洋中常见的自然现象之一实际上，现实中的许多运动变化都有着循环反复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性在唐代诗人王湾的江南恋中有这样的诗句：“客路青山外，行舟绿水前潮平两岸阔，风正一帆悬 .
2、海日生残夜，江春入旧年”诗中生动地描述了潮汐运动、昼夜交替的周期性变化规律,如何用数学的方法来刻画这种周期性的变化规律呢？本章将要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型通过本章的学习，我们将知道：三角函数是怎样的一种函数？具有哪些特有的性质？在解决周期性变化规律的问题中能发挥哪些重要作用？,1.1 任意角和弧度制,第一章,1.1.1 任意角,1初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么呢？所谓角就是_ 答案 由两条具有公共端点的射线组成的图形 2角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角锐角的范围为_，钝角的范围为_，直角的度数为_ 答案 090 90180 90,知识衔接,1角 (1
3、)定义：平面内一条射线绕着_从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角，所旋转射线的端点叫做角的_，开始位置的射线叫做角的_，终止位置的射线叫做角的_如图所示,自主预习,端点,顶点,始边,终边,(2)分类：如下表. (3)记法：用一个希腊字母表示，如、；也可用3个大写的英文字母表示(字母前面要写“”)，其中中间字母表示角的顶点，如AOB、DEF、.,逆,顺,旋转,破疑点(1)确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转量；(2)零角的始边和终边重合，但始边和终边重合的角不一定是零角，如周角等；(3)角的范围由0360推广到任意角后，角的加减运算类似于实数的加减运算(4)画图表示角时，应注意箭头的方向
4、不可丢掉，箭头方向代表角的正负,2象限角 使角的顶点与_重合，角的始边与_轴的非负半轴重合那么，角的_(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几_，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与_重合 如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限,原点,x,终边,象限角,坐标轴,3终边相同的角 (1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合 (2)终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|_，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和,k360,破疑点理解集合S|k360，kZ要注意以下几点： (1)式
5、中角为任意角； (2)kZ这一条件必不可少； (3)k360与之间是“”，如k36030应看成k360(30)，即与30角终边相同； (4)当与的终边相同时，k360(kZ)反之亦然,拓展1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角：,(2)轴线角：,1将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120所得的角为( ) A120 B120 C60 D240 答案 A 230是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 答案 D,预习自测,3与95角终边相同的角是( ) A5 B85 C395 D265 答案 D 4已知角是第二象限角，是第_象限角 答案 一、三 解
6、析 可用不等式来表示第二象限角，然后对式中的k进行讨论讨论时分奇数和偶数两类进行；也可采用几何法，即将每一象限分成两等份，从第一象限开始按逆时针方向在每一个区域依次标上1、2、3、4，循环标注，则标有2的区域即为所求,5下列说法中，正确的是_ (1)终边落在第一象限的角为锐角； (2)锐角是第一象限角； (3)第二象限角为钝角； (4)小于90的角一定为锐角 答案 (2) 解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400的角是第一象限角，但不是锐角，故(1)的说法是错误的；同理第二象限角也不一定是钝角，故(3)的说法也是错误的；小于90的角不一定为锐角，如负角，故(4)的说法是错误的；综上，只
7、有(2)的说法是正确的,警误区注意锐角、钝角、直角、平角、周角的概念与象限角、正角、负角、零角等概念的区别以及它们之间的关系,写出图(1)、(2)中的角、的度数 探究 1.弄清角的始边与终边,任意角,互动探究,2弄清逆时针还是顺时针 解析 图(1)中，36030330； 图(2)中，36060150150； 36060()36060150570.,(1)时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_，分针转过的角的度数为_ (2)如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120到达OC位置，则AOC_.,答案 (1)100 1 200 (2)75,(1)与457角
8、的终边相同的角的集合是( ) A|457k360，kZ B|97k360，kZ C|263k360，kZ D|263k360，kZ (2)已知1 910，把写成k360(kZ,0360)的形式，指出它是第几象限角；求，使与的终边相同，且7200.,终边相同的角,(3)若角的终边在函数yx的图象上，试写出角的集合,规律总结 写出终边落在某条过原点的直线上的角集合有两种方法：一是分别写出每条终边所代表的角的集合，再取并集；二是在其中一条终边上找出一个角，然后再加上180的整数倍,(1)与405角终边相同的角是( ) Ak36045，kZ Bk360405，kZ Ck36045，kZ Dk18045
9、，kZ,(2)已知角2016. 把改写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角； 求，使与终边相同，且360720. (3)已知角的终边在直线xy0上 写出角的集合S；写出S中适合不等式360720的元素 答案 (1)C,解析 (1)40536045，是与45终边相同的角，即与405终边相同的角是k36045，故选C. (2)用2016除以360商为5，余数为216， k5， 5360216(216)， 为第三象限角 k360216，kZ， 又360720，k1,0,1， 144、216、576.,区域角及其表示方法 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角其写法可分为三步：
10、(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360到360范围内的角和，写出最简区间x|x； (3)起始、终止边界对应角、再加上360的整数倍，即得区间角集合,区域角的表示,若角的终边在下图中阴影所表示的范围内，则角组成的集合为_ 解析 在0360范围内，终边落在阴影范围内的角是60150，故满足条件的角的集合为|k36060k360150，kZ 答案 |k36060k360150，kZ,写出图中阴影区域所表示角的集合(包括边界) 解析 (1)|k36030k36090，kZ|k360210k360270，kZ或写成|k18030k18090，
11、kZ (2)|k36045k36045，kZ,探究 解决这类问题有两种方法：分类讨论或几何法 解析 是第一象限角， k360k36090(kZ) (1)k36090k360(kZ)， 所在区域与(90，0)范围相同， 故是第四象限角,探索延拓,判断角所在的象限,规律总结 此题几何法依据的是数形结合的思想，简洁直观；分类讨论要对n的取值分以下几种情况进行讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；被n除余n1.然后方可下结论,答案 B,已知集合A|k18045，kZ，集合B|k9045，kZ，则A与B的关系正确的是( ) AAB BBA CAB DAB且BA,易错点 集合概念理解错误,误区警示,辨析
12、错解对集合概念理解错误应从集合中角的终边所在位置随k的变化入手解决，或用列举法解决 正解 当k为偶数时，集合A中角的终边为一、四象限角的平分线，当k为奇数时，集合A中角的终边为二、三象限角的平分线，角的终边如图所示，故可以表示为k9045，AB，故选C.,已知集合A|k18030k18090，kZ，集合B|k36045k36045，kZ求AB. 思路点拨 在直角坐标平面内，分别找出集合A，B中角的终边所在的区域，结合图形写出AB.,解析 如下图所示，AB中的角的始边和终边对应30和45角的终边， AB|k36030k36045，kZ,1下列命题中，正确的是( ) A第一象限角必是锐角 B终边相
13、同的角必相等 C相等角的终边位置必相同 D不相等的角其终边位置必不相同 答案 C 解析 锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，因此A错误；由终边相同角的概念知C正确,2215是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 答案 B 解析 由于215360145，而145是第二象限角，则215也是第二象限角 3下列各组角中，终边相同的是( ) A390，690 B330，750 C480，420 D3000，840 答案 B,4若是第三象限角，则是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 答案 B 解析 令120是第三象限角，则120是第二象限角,答案 C 解析 如题图所示，终边落在阴影部分的角的取值是k36045k360120，kZ，故选C.,
