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1、数学练习题5-1一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x23x40,B=x|x=,xZ,kZ,则AB=() A 1,1 B 1,1,3 C 3,1,1 D 3,1,1,32已知命题p:xR,向量=(x2,1)与=(2,13x)垂直,则() A p是假命题;p:xR,向量=(x2,1)与=(2,13x)不垂直 B p是假命题;p:xR,向量=(x2,1)与=(2,13x)垂直 C p是真命题;p:xR,向量=(x2,1)与=(2,13x)不垂直 D p是真命题;p:xR,使得向量=(x2,1)与=(2,13x
2、)不垂直3设a=cos,b=30.3,c=log53,则() A cbq B cab C acb D bca4某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林() A 14400亩 B 172800亩 C 17280亩 D 20736亩5已知,函数y=f(x+)的图象关于直线x=0对称,则的值可以是() A B C D 6已知x0是的一个零点,x1(,x0),x2(x0,0),则() A f(x1)0,f(x2)0 B f(x1)0,f(x2)0 C f(x1)0,f(x2)0 D f(x1)0,f(x2)07数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(
3、n1),则a6=() A 344 B 344+1 C 44 D 44+18若a0,b0,且函数f(x)=4x3ax22bx2在x=1处有极值,则ab的最大值() A 2 B 3 C 6 D 99已知函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,若函数f(x)的最小正周期为6,且当x=时,f(x)取得最大值,则()A f(x)在区间2,0上是增函数 B f(x)在区间3,上是增函数C f(x)在区间3,5上是减函数 D f(x)在区间4,6上是减函数10已知函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为() A (1,1) B (1,+) C (,1)
4、 D (,+)二、填空题11.若实数满足,则的最小值为 12设,则m与n的大小关系为 13一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则这个几何体的体积为 14设,若是 与的等比中项,则的最小值为 15具有性质:的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:y=x;y=x+;y=中满足“倒负”变换的函数是 三、解答题 16.如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,BAC=ACD=,EAC=,AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP/平面EAB?请证明你的结论;(2)求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角的余弦值.17.设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条
5、棱中任取两条,当两条棱相交时,; 当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.(1)求概率P();(2)求的分布列,并求其数学期望E().18在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC(1)求角C大小;(2)求sinAcos(B+)的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小19.已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为4,左右顶点分别为A,B,经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于C、D(异于A,B)两点(1)求椭圆标准方程;(2)求四边形的面积的最大值;(3)若是椭圆上的两动点,且满,动点满足(其中O为坐标原点),是否存在两定点使得为定值,若存
6、在求出该定值,若不存在说明理由xyOABDC20已知函数()求f(x)的单调区间;()若对于任意的x(0,+),都有f(x),求k的取值范围21.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值,并求此时点的坐标.22.设函数的最大值为M(1)求实数M的值;(2)求关于的不等式的解集数学练习题5-1答案1 解:由A中不等式变形得:(x4)(x+1)0,解得:1x4,即A=1,4,由B中x=,xZ,kZ,得到2k1可能为3,1,1,3,解得:k=1
7、,0,1,2,即x=1,3,3,1,B=3,1,1,3,则AB=1,1,3, 故选:B2 解:命题p:xR,向量=(x2,1)与=(2,13x)垂直,它的否定是:p:xR,向量=(x2,1)与=(2,13x)不垂直,如果垂直则有:2x2+13x=0,解得x=1或x=,显然命题的否定是假命题故选:C3 C 解:,a=cos,b=30.31,c=log53log5=,c=log53log55=1;故acb,4 解:由题设知该林场第二年造林:10000(1+20%)=12000亩,该林场第三年造林:12000(1+20%)=14400亩,该林场第四年造林:14400(1+20%)=17280故选C5
8、 D解:=2sin(x+),函数y=f(x+)=2sin(x+)的图象关于直线x=0对称,函数为偶函数,=6 解:已知x0是的一个零点,x1(,x0),x2(x0,0),可令h(x)=,g(x)=,如下图:当0xx0,时g(x)h(x),h(x)g(x)=0;当xx0时,g(x)h(x),h(x)g(x)=0;x1(,x0),x2(x0,0),f(x1)0,f(x2)0,故选C;7解:由an+1=3Sn,得到an=3Sn1(n2),两式相减得:an+1an=3(SnSn1)=3an,则an+1=4an(n2),又a1=1,a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的
9、等比数列,所以an=a2qn2=34n2(n2)则a6=344故选A8 解:函数f(x)=4x3ax22bx2的导数f(x)=12x22ax2b,由于函数f(x)=4x3ax22bx2在x=1处有极值,则有f(1)=0,即有a+b=6,(a,b0),由于a+b2,即有ab()2=9,当且仅当a=b=3取最大值9故选D9 解:函数f(x)的最小正周期为6,根据周期公式可得=,f(x)=2sin(),当x=时,f(x)取得最大值,2sin()=2,=+2k,=, 由 可得函数的单调增区间:,由可得函数的单调减区间:,结合选项可知A正确,故选A10解:设g(x)=f(x)2x4,则g(x)=f(x)
10、2,对任意xR,f(x)2,对任意xR,g(x)0,即函数g(x)单调递增,f(1)=2,g(1)=f(1)+24=44=0,则函数g(x)单调递增,由g(x)g(1)=0得x1,即f(x)2x+4的解集为(1,+),故选:B11.12、解:ex,lnx的导数等于ex,m=ex|=e1e0=e1;n=lnx|=lneln1=1而e11mn故答案为:mn13、解:由三视图可知,这是一个简单的组合体,上面是一个底面是边长为1的正方形,高是2的四棱柱,体积是112下面是一个长为2,高为1,宽为1的长方体,体积是112几何体的体积是112+211=4m3,故答案为:414【解析】,又,所以的最小值为.
11、15、16(一)解:(1)线段BC的中点就是满足条件的点P。1分证明如下:取AB的中点F连接DP,PF,EF,则FP/AC,FP=AC.取AC的中点M,连接EM,EC。AE=AC且EAC=,EAC是正三角形。EMAC。四边形EMCD为矩形。ED=MC=AC=FP。又ED/AC。ED/FP且ED=FP,即四边形EFPD是平行四边形。DP/EF。而EF平面EAB,DP平面EAB,DP/平面EAB。5分(2)过点B作AC的平行线,过点C作的垂线交点G,连接DG。ED/AC,ED/。是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱。平面EACD平面ABC,DCAC,DCABC。又平面ABC,DC.平面DGC.D
12、G.DGC是所求二面角的平面角的余角。设AB=AC=AE=,则CD=GD=cos=cosDGC=即平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角的余弦值为 .12分(二)解:设AB=a,取AC中点O,BC中点F,连EO、OF。又EAC=又面ABC面ACDE即EO面ACDE建立以OF、OC、OE为空间坐标系的轴。2分假设存在点P,且又面EAB的法向量 令即即P为BC的中点5分设面EBD的法向量为,面ACDE的法向量为7分9分12分17解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,共有8C对相交棱。 P()=4分(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,P,随机变量的分布列是:01P10分其数学期望。12分18、解:(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC,因为0A,所以sinA0从而sinC=cosC,又cosC0,所以tanC=1,C=(2)有(1)知,B=A,于是sinAcos(B+)=sinA+cosA=2sin(A+)因为0A,所以 A+,从而当A+=,即A=时2sin(A+)取得最大值2综上所述sinAcos(B+)的最大值为2,此时A=,B=19解:(1)由题设知:因为抛物线的焦点为,所以椭圆中的,又由椭圆的长轴为4,得, 椭圆的标准方程为: 4分(2) 法一直线斜率不为零,代入椭圆方