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1、1直线与平面垂直 (1)定义： 与平面内 ，称 ，记为 .,直线a,所有的直线垂直,直线a,垂直平面,a,(3)直线和平面垂直的性质 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直 如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行,2二面角 从一条直线AB出发的两个半平面(和)所组成的图形叫做二面角记作二面角AB，AB叫做二面角的 ，两个半平面(和)叫做二面角的 二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面，内作与棱垂直的射线OM，O
2、N，我们把MON叫做二面角AB的平面角，用它来度量二面角的大小平面角是直角的二面角叫做 ,棱,面,直二面角,3平面与平面垂直 (1)定义： 平面与平面相交，如果 ，称与互相垂直，记为 . (2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,所成的二面角是直二面角,4证明空间垂直关系的常用思想方法,1(2011广州一模)已知l、m是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是( ) A若l，则l B若l，则l C若lm，m，则l D若l，m，则lm 答案 D,2
3、(2009广东，6)给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,其中，为真命题的是( ) A和 B和 C和 D和 答案 D,3(2010湖北，4)用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题： 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac； 若a，b，则ab； 若a，b，则ab. 其中真命题的序号是_ A B C D 答案 C,设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“
4、l”是“lm且ln”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件,解析 若l，则lm且ln， 但是如果lm且ln不一定有l.m，n必须相交，才能由lm且ln得到la. 答案 A 点评与警示 深刻理解线面垂直定义，线面垂直判定定理是解决本题关键,(2009苏州模拟)已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题： 若m，n，mn，则； 若m，n，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，则mn. 其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)_ 答案 ,如下图所示，P、Q、R分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BB1、BC的中点. 求证：B
5、D1平面PQR.,证明 连接BD、AC、AB1、A1B. 四边形ABCD是正方形，ACBD. 又P、R分别是AB、BC的中点， PRAC，PRBD.又DD1平面ABCD，PR平面ABCD，DD1PR. 又BD和DD1是平面DBD1内的两条相交直线， PR平面DBD1.BD1平面DBD1，PRBD1. 同理，PQ平面A1BD1， PQBD1.又PQ和PR为平面PRQ内的两条相交直线， BD1平面PQR.,点评与警示 垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来,(1
6、)证明 平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD， SM平面SAD，SMAD SM平面ABCD， BM平面ABCD，SMBM. 四边形ABCD是直角梯形，ABCD，AMAB，DMDC， MAB，MDC都是等腰直角三角形， AMBCMF45，BMC90，BMCM.,SM平面SMC，CM平面SMC，SMCMM， BM平面SMC (2)解三棱锥CSBM与三棱锥SCBM的体积相等， 由(1)知SM平面ABCD，,已知空间四边形ABCD中，BCAC，ADBD，引BECD，E为垂足，作AHBE于H，求证：AH平面BCD. 证明 如图所示：取AB中点F，连接CF、DF、AE ACBC CFAB，
7、又ADBD DFAB，,AB平面CDF，而CD面CDF CDAB，又CDBE，ABBEB CD平面ABE， 而AH平面ABE CDAH，又AHBE，BECDE AH平面BCD. 点评与警示 利用等腰三角形底边上的三线合一(中线、高、平分线)把定量关系(线段、角相等)转化为定性关系(垂直)是几何证明的基本技巧,直角三角形ABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC中点 (1)求证：SD面ABC； (2)若ABBC，求证：BD面SAC. 证明 (1)如图，取AB中点E，连接SE，DE， 在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DEBC，且DEAB， SASB，SAB为等腰三角形，,
8、SEAB. SEAB，DEAB，SEDEE， AB面SDE. 而SD面SDE， ABSD. 在SAC中，SASC，D为AC中点， SDAC. SDAC，SDAB，ACABA，SD面ABC.,(2)若ABBC，则BDAC， 由(1)可知，SD面ABC， 而BD面ABC， SDBD， SDBD、BDAC， SDACD， BD面SAC.,(2008广州二模)如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBCCA2，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上 (1)证明：平面PAB平面PCM； (2)证明：线段PC的中点为球O的球心； (3)若球O的表面积为20，求二面角APBC的平面角的
9、余弦值,(1)证明 ACBC，M为AB的中点， CMAB. PA平面ABC，CM平面ABC， PACM. ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB， CM平面PAB. CM平面PCM， 平面PAB平面PCM.,(2)证明 由(1)知CM平面PAB.PM平面PAB，CMPM. PA平面ABC，AC平面ABC， PAAC. 取PC的中点N，连接MN、AN. 在RtPAC中，点N为斜边PC的中点， ANPNNC. 在RtPMC中，点N为斜边PC的中点， MNPNNC. PNNCANMN. 点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心,点评与警示 证面面垂直可转化为证线面垂直；求二面角关键是找出其
10、平面角,已知一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图均是腰长为2的等腰直角三角形 (1)请画出几何体的直观图，并求出它的体积； (2)求证：平面PBD平面PAC； (3)求点C到平面PBD的距离,(2)证明 因为PA平面ABCD，所以PABD， 又因为ABCD是正方形，所以BDAC， 又因为PA、AC平面PAC且PAACA， 所以BD平面PAC，又因为BD平面PBD， 所以平面PBD平面PAC.,2两个平面垂直的判定方法： (1)两个平面相交、如果所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直 (2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,(4)“平面内任意一条直线”与“平面内的无数条直线”是不同的两个概念,
