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1、【优化探究】2016高考数学一轮复习 5-3 等比数列及其前n项和课时作业 文一、选择题1(2015年日照联考)设数列an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a41,S37,则S5()A.B.C. D.解析:设此数列的公比为q(q0),由已知a2a41,得a1,a31,由S37,知a37,即6q2q10,解得q,从而a14,所以S5,选B.答案:B2在等比数列an中,若a4,a8是方程x23x20的两根,则a6的值是()A BC. D2解析:因为a4,a8是方程的两根,则,a40,a80,又aa4a82,a6,故选C.答案:C3在等比数列an中,Sn是它的前n项和,若a2a32a
2、1,且a4与2a7的等差中项为17,则S6()A. B16C15 D.解析:设an的公比为q,则由等比数列的性质知,a2a3a1a42a1,则a42;由a4与2a7的等差中项为17知,a42a721734,得a716.q38,即q2,a1,则S6,故选A.答案:A4(2014年云南联考)等比数列an中,a11,q2,则Tn的结果可化为()A1 B1C. D.解析:由题意,an2n1,所以Tn,故选C.答案:C5已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1a3,a2a4,则()A4n1 B4n1C2n1 D2n1解析:设等比数列an的公比为q,由可得2,q,代入解得a12,an2n1,Sn4,2n1
3、.答案:D二、填空题6(2014年高考广东卷)等比数列an的各项均为正数,且a1a54,则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_.解析:log2a1log2a2log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2(a1a5)log245.答案:57若等比数列an满足a1a410,a2a520,则an的前n项和Sn_.解析:由题意a2a5q(a1a4),得q2,代入a1a4a1a1q310,得9a110,a1,所以Sn(2n1)答案:(2n1)8已知数列an是等比数列,a1,a2,a3依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3中任何两个都不在同一
4、列,则an_(nN*).第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188解析:观察题中的表格可知a1,a2,a3分别为2,6,18,即an是首项为2,公比为3的等比数列,an23n1.答案:23n1三、解答题9(2015年荆州模拟)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn中的b3,b4,b5.(1)求数列bn的通项公式;(2)数列bn的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列解析:(1)设成等差数列的三个正数分别为ad,a,ad.依题意,得adaad15,解得a5.所以bn中的b3,b4,b5依次为7d,10,18d.依题意,(7d)(18d
5、)100,解之得d2或d13(舍去),b35,公比q2,因此b1,故bn2n152n3.(2)证明:由(1)知b1,公比q2,Sn52n2,则Sn52n2,因此S1,2(n2)数列是以为首项,公比为2的等比数列10已知公比q不为1的等比数列an的首项a1,前n项和为Sn,且a4S4,a5S5,a6S6成等差数列(1)求等比数列an的通项公式;(2)对nN,在an与an1之间插入3n个数,使这3n2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列bn的前n项和Tn.解析:(1)因为a4S4,a5S5,a6S6成等差数列,所以a5S5a4S4a6S6a5S5,即2a63a5a40,所以2q23
6、q10,因为q1,所以q,所以等比数列an的通项公式为an.(2)由题意知bn3nn,所以Tn.B组高考题型专练1(2014年嘉兴3月测试)已知等比数列an的前n项和为Sn,则一定成立的是()A若a30,则a2 0130,则a2 0140,则a2 0130 D若a40,则a2 0140解析:不妨设an的通项公式为ana1qn1(q0),因为q2 0100,所以若a30.则a2 013a3q2 0100,若a40,则a2 014a4q2 0100.对于C选项,若a30,则a10,因为1q与1q2 013同号,所以S2 0130,选项C正确,故选C.答案:C2已知数列an,bn满足a1b13,an
7、1an3,nN*,若数列cn满足cnban,则c2 013()A92 012 B272 012C92 013 D272 013解析:由已知条件知an是首项为3,公差为3的等差数列,数列bn是首项为3,公比为3的等比数列,an3n,bn3n,又cnban33n,c2 013332 013272 013,故选D.答案:D3任给实数a,b,定义ab设函数f(x)ln xx,则f(2)f_;若an是公比大于0的等比数列,且a51,f(a1)f(a2)f(a3)f(a7)f(a8)a1,则a1_.解析:由题可得,f(x)ln xxf(2)f2ln 22ln 22ln 20,若x1,则1,f(x)fxln
8、 xxln xxlnx0.a2a8a3a7a4a6a1,f(a2)f(a3)f(a8)0.f(a1)a1.若a11,则a1ln a1a1,解得a1e;若0a11,则a1,无解答案:0e4已知等比数列an的首项为,公比为,其前n项和为Sn,若ASnB对nN*恒成立,则BA的最小值为_解析:由题易得Sn1n,而ySn在上单调递增,所以yA,B,因此BA的最小值为.答案:5(2015年青岛模拟)已知数列dn满足dnn,等比数列an为递增数列,且aa10,2(anan2)5an1,nN*.(1)求an;(2)令cn1(1)nan,不等式ck2 014(1k100,kN*)的解集为M,求所有dkak(kM)的和解析:(1)设an的首项为a1,公比为q,所以(a1q4)2a1q9,解得a1q,又因为2(anan2)5an1,所以2(ananq2)5anq,则2(1q)25q,2q25q20,解得q(舍)或q2,所以an22n12n.(2)cn1(1)nan1(2)n,dnn,当n为偶数,cn12n2 014,即2n2 013,不成立;当n为奇数,cn12n2 014,即2n2 013,因为2101 024,2112 048,所以n2m1,5m49,则dk组成首项为11,公差为2的等差数列,ak(kM)组成首项为211,公比为4的等比数列,则所有dkak(kM)的和为2 475.