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1、第四节 圆的方程,1圆的定义 (1)在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫做圆 (2)确定一个圆的要素是 和 2圆的方程,圆心,半径,(a，b),(xa)2(yb)2r2(r0),x2y2DxEyF0,r,定点,定长,3点与圆的位置关系 已知圆的方程为(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0) 则：(1)点在圆上： ； (2)点在圆外： ； (3)点在圆内： .,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,4确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1) ； (2) ； (3) ,根据题意，选择标准方程或一般方程
2、,根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组,解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程,【答案】 D,2过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是( ) A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24,【解析】 方法一：设圆的方程为 (xa)2(y2a)2r2，,解得a1，r24. 故圆的方程为(x1)2(y1)24. 方法二：AB中垂线方程为yx， 即圆心为(1,1)， 圆的方程为(x1)2(y1)24.,【答案】 C,3当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的
3、方程为( ) Ax2y22x4y0 Bx2y22x4y0 Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0 【解析】 直线方程变为(x1)axy10，,所求圆的方程为(x1)2(y2)25. 即：x2y22x4y0. 【答案】 C,4已知点(0,0)在圆：x2y2axay2a2a10外，则a的取值范围是_ 【解析】 点(0,0)在圆x2y2axay2a2a10外， 0202a0a02a2a10， 即2a2a10，解得a 或a1. 又a2a24(2a2a1)0.,5过圆x2y24外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则APB的外接圆方程为_,【解析】 连接OA、OB，由平面几何知识可知O、A、P
4、、B四点共圆，故三角形APB的外接圆即为以OP为直径的圆，即圆心为(2,1)，半径 故圆的方程为(x2)2(y1)25. 【答案】 (x2)2(y1)25,求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程,【思路点拨】 由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐 【自主探究】 方法一：设所求的圆的方程是 (xa)2(yb)2r2，,则圆心(a，b)到直线xy0的距离为 即2r2(ab)214 由于所求的圆与x轴相切，r2b2 又因为所求圆心在直线3xy0上， 3ab0 联立，解得 a1，b3，r29或a1，b3，r29. 故所求的圆的方程是 (x1)
5、2(y3)29或(x1)2(y3)29.,即(DE)2562(D2E24F) 又圆心 ，在直线3xy0上， 3DE0 联立，解得 D2，E6，F1或D2，E6，F1. 故所求圆的方程是x2y22x6y10 或x2y22x6y10.,【方法点评】 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r. 2如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法设所求圆的方程为：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，
6、由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值 3以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.,1根据下列条件，求圆的方程： (1)和圆O：x2y24相外切于点P(1， )，且半径为4； (2)圆心在原点且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程； (3)求经过两已知圆C1：x2y24x2y0和C2：x2y22y40的交点，且圆心在直线l：2x4y1上的圆的方程,(2)如图，因为圆周被直线3x4y150分成12两部分，,所以AOB=120. 而圆心到直线3x+4y+15=0的距离 在AOB中，可
7、求得OA=6，所以所求圆的方程为x2+y2=36. (3)由题意可设圆的方程为(x2+y2-4x+2y)+(x2+y2-2y-4)=0， 即(1+)x2+(1+)y2-4x+(2-2)y-4=0， 圆心坐标为 代入l：2x+4y=1，得=3. 所以所求圆的方程为：x2+y2-3x+y-1=0.,已知实数x、y满足方程x2y24x10. (1)求 的最大值和最小值； (2)求yx的最大值和最小值； (3)求x2y2的最大值和最小值,【方法点评】 1.求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化如(1)形如m 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby
8、的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题 2特别要记住下面两个代数式的几何意义： 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的直线斜率， 表示点(x，y)与原点的距离,2本例中的条件不变 (1)求 的最大值和最小值 (2)求x2y的最大值和最小值 (3)求P(x，y)点到直线3x4y120的距离的最大值和最小值,设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹 【思路点拨】 先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程
9、可求,【方法点评】 1.求方程前必须建立平面直角坐标系(若题目中有点的坐标，就无需建系)，否则曲线就不可转化为方程 2一般地，设点时，将动点坐标设为(x，y)，其他与此相关的点设为(x0，y0)等 3求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形,3已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点 (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程 【解析】 (1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y) P点在圆x2y24上，(2x2)2(2y)2
10、4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.,(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.,1(2009年辽宁高考)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 【解析】 由圆心在直线xy0上不妨设为C(a，a),【答案】 B,2(2009年宁夏、海南高考
11、)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为( ) A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21 C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21,【解析】 圆C1：(x1)2(y1)21的圆心为(1,1) 圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线xy10对称， 解得 圆C2的半径为1， 圆C2的方程为(x2)2(y2)21. 【答案】 B,3(2009年重庆高考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) Ax2(y2)21 Bx2(y2)21 C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21 【解析】 由题意知圆心为(
12、0,2)，则答案选A. 【答案】 A,4(2009年上海高考)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 【解析】 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x02y024，连线中点坐标为(x，y)， 代入x02y024中得(x2)2(y1)21.故选A. 【答案】 A,1求圆的方程问题 求一个圆的方程需要三个独立条件，待定系数法是求圆的方程的基本方法，应熟练掌握，若由已知条件易求圆心坐标、半径或需要由圆心坐标列方程，常选用圆的标准方程；若所求圆与圆心、半径关系不密切，或更突出方程的二次形式，常选用圆的一般方程 2与圆有关的轨迹问题 关于轨迹问题，应注意建立适当的坐标系，然后根据条件，选择适当的方法，如坐标法，定义法等，求得轨迹方程,3与圆有关的几何量的应用 处理与圆有关的问题，要注意圆心、半径及平面几何知识的运用，如弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形在解题中的应用，利用圆的几何量之间的关系解题，往往能使问题简化,课时作业 点击进入链接,
