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1、2.1.1椭圆及其标准方程,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,一.课题引入：,现在给你一段绳子怎么样画圆？那椭圆呢？,椭圆的形成：,椭圆的形成：,哇：得到一个椭圆!,注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内; （2）两个定点-两点间距离确定;(常记作2c) （3）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作2a, 且2a2c),1 .椭圆定义： 平面内与两个定点 的距离和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ,二.讲授新课：,思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的
2、椭圆较扁（ 线段）;两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（ 圆）.由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关,若2a=F1F2轨迹是什么呢？,若2aF1F2轨迹是什么呢？,轨迹是一条线段,轨迹不存在, 求动点轨迹方程的一般步骤：,（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y） 表示曲线上任意一点M的坐标; （2）写出适合条件 P（M） ; （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ; （4）化方程为最简形式; （5）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略 不写,如有特殊情况，可以适当予以说明),坐标法, 探讨建立平面直角坐标系的方案,方案一,2.求椭圆的方程：,原则：尽可能使方程的形式简单、运
3、算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.),(对称、“简洁”),解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,（问题：下面怎样化简？）,由椭圆的定义得，限制条件：,代入坐标,两边除以 得,由椭圆定义可知,整理得,两边再平方，得,移项，再平方,叫做椭圆的标准方程。,它所表示的椭圆的焦点在x轴上， 焦点是 ，中心在坐标原点 的椭圆方程 ,其中,说出
4、下列椭圆的交点及它与坐标轴的交点 （1）,0,y,x,0,0,A,B,C,D,(2),(-5,0),(5,0),(0,3),(0,-3),B,C,D,A,B,C,D,那这个椭圆的焦点及与坐标轴的交点呢？,从上面发现了什么？椭圆标准方程中的a，b，c表示那些线段？,如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢?,合作探究,如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同， 调换x,y轴）如图所示,焦点则变成 只要将方程中 的 调换，即可得,.,p,0,也是椭圆的标准方程。,总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式,焦点在y轴：,焦点在x轴：,3.椭圆的标准方程:,图 形,方 程,焦 点,F(c
5、，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),定 义,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.,不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,例1：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。,解：以两焦点 所在直线为X轴，线段 的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy。,则这个椭圆的标准方程为:,根据题意:2a=3,2c=2.4,所以：b2=1.
6、52-1.22=0.81,因此，这个椭圆的方程为：,练习1.下列方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标.,?,练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(2)焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且a=5；,(1)a= ,b=1,焦点在x轴上；,(3)两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；,(4)经过点P(2,0)和Q(0,3).,小结：求椭圆标准方程的步骤：,定位：确定焦点所在的坐标轴；,定量：求a, b的值.,练习3. 已知椭圆的方程为： ，请填空： (1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为_，焦距等于_. (2)若C为椭圆上一
7、点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点， 并且CF1=2,则CF2=_.,变式： 若椭圆的方程为 ,试口答完成（1）.,5,4,3,6,(-3,0)、(3,0),8,练习4.已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆，则m的取值范围是 .,(0,4),变1：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 .,(1,2),变2：方程 ，分别求方程满足下列条件的m的取值范围： 表示一个圆； 表示一个椭圆； 表示焦点在x轴上的椭圆。,例2、过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于A、B两点，求 的周长。,三、回顾小结：,求椭圆标准方程的方法,求美意识， 求简意识，前瞻意识,已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的台球盘，点A、B是它的两个焦点，焦距是2c，椭圆上的点到A、B的距离的和为2a，当静放在A的小球（半径不计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A时，求小球经过的路程。,探索,
