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1、天津南开中学2015届高三数学第二阶段复习资料解答题训练4已知向量,记(1)求f(x)的值域及最小正周期;(2)若,其中,求角甲袋中装有大小相同的红球1个,白球2个;乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个,白球3个先从甲袋中取出1个球投入乙袋中,然后从乙袋中取出2个小球()求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率;()记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量,求的分布列和数学期望如图,在直三棱柱中,是的中点()求证:平面; ()求二面角的余弦值;()试问线段上是否存在点,使与成 角?若存在,确定点位置,若不存在,说明理由如图,过抛物线上一点P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物
2、线交于点(1)求的值;(2)若,求面积的最大值。设函数,函数(其中,e是自然对数的底数)()当时,求函数的极值;()若在上恒成立,求实数a的取值范围;()设,求证:(其中e是自然对数的底数)已知函数是定义在上的奇函数,且在处取得极小值。设表示的导函数,定义数列满足:()求数列的通项公式;()对任意,若,证明:;()试比较与的大小。天津南开中学2015届高三数学第二阶段复习资料解答题训练4参考答案解:(1)根据条件可知: 因为f(x)的定义域为 f(x)的值域为,f(x)的最小正周期为(2)所以,又因为,所以所以解:()记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A,包含如下两个事件:“从甲袋
3、中取出1红球投入乙袋,然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋,然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”,分别记为事件A1、A2,且A1与A2互斥,则:,故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为 ()0、1、2,,(答对一个得1分)的分布列为012P 解:()证明:连结,交于点,连结由 是直三棱柱,得 四边形为矩形,为的中点又为中点,所以为中位线,所以 ,因为 平面,平面,所以 平面 ()由是直三棱柱,且,故两两垂直如图建立空间直角坐标系设,则所以 ,设平面的法向量为,则有所以 取,得易知平面的法向量为由二面角是锐角,得 所以二面角的余弦值为()假设存在满足条件的点因为
4、在线段上,故可设,其中所以 ,因为与成角,所以即,解得,舍去所以当点为线段中点时,与成角 解:因为,在抛物线上,所以, ,同理,依题有,因为,所以 由知,设的方程为,到的距离为,所以=, 令,由,可知,因为为偶函数,只考虑的情况,记,故在是单调增函数,故的最大值为,故的最大值为6解: (),函数,当时,;当时,故该函数在上单调递增,在上单调递减函数在处取得极大值()由题在上恒成立,若,则,若,则恒成立,则不等式恒成立等价于在上恒成立,令,则,又令,则,当时,则在上单调递减,在上单减,即在上恒成立;当时,)若,即时,则在上单调递减,在上单调递减,此时在上恒成立;)若,即时,若时,则在上单调递增,在上也单调递增,即,不满足条件综上,不等式在上恒成立时,实数a的取值范围是()由()知,当时,则,当时,令,则,又由()得,即,当x0时,综上得,即解:()()由()知。因为(当时取等号)。又(),构造函数,则上式等价于证成立,所以。又令,则当时成立,即得在上单调递减,于是成立,即成立,故成立。所以,由此知单调递减,所以,即,所以