《2015届高考数学 高校信息化课堂 大题冲关 专题六 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学 高校信息化课堂 大题冲关 专题六 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法 理（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲立体几何中的向量方法1.(2014嘉兴高三期末)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=5,CC1=,P是AD1上一点,E是PC的中点. (1)求证:AD1平面BDE;(2)当AD1DP时,求平面DCP与平面BCP所成锐二面角的余弦值.(1)证明:连接AC交BD于F,则F为AC的中点,连接EF,则EF为PAC的中位线,所以EFAD1,AD1平面BDE,EF平面BDE,所以AD1平面BDE.(2)解:法一连接BC1, 作CQBC1于Q,又BQCD,所以BQ平面CDPQ,作QHPC于H,连接BH,所以BHQ就是平面DCP与平面BCP所成锐二面角,在RtBCC1中,CQBC1,
2、BC=5,CC1=,所以BQ=4,CQ=3,在RtPCQ中,QHPC,所以HQ=,所以tan =,所以cos =,即平面DCP与平面BCP所成锐二面角的余弦值为.法二以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.由AD=5,DD1=,AD1DP,得P(,0,),设平面PCD的一个法向量为n1,由=(,0,),=(0,4,0),n1=0,n1=0,得平面PCD的一个法向量n1=(4,0,-3),设平面PCB的一个法向量为n2,由=(,-4,),=(5,0,0),n2=0,n2=0,得平面PBC的一个法向量n2=(0,3,5),则cos =,所以平面DCP与平面BCP
3、所成锐二面角的余弦值为.2.(2014宁波高三十校联考)如图,三棱锥PABC中,已知平面PAB平面ABC,ACBC,AC=BC=2a,点O,D分别是AB,PB的中点,POAB,点Q在线段AC上,且AQ=2QC. (1)证明:CD平面OPQ;(2)若二面角APBC的余弦值的大小为,求PA.(1)证明:连接AD,交PO于M,连接OD、QM, 点O,D分别是AB,PB的中点,ODAP,=2=,MQCD,而MQ平面OPQ,CD平面OPQ,CD平面OPQ.(2)解:连接OC.平面PAB平面ABC,POAB,PO平面ABC.从而POAB,POOC.AC=BC,点O是AB的中点,OCAB.且OA=OB=OC
4、=a.如图,建立空间直角坐标系Oxyz. A(0,-a,0),B(0,a,0),C(a,0,0),设PO=h,则P(0,0,h).POOC,OCAB,OC平面PAB.从而=(a,0,0)是平面PAB的一个法向量.不妨设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),=(0,a,-h),=(a,-a,0),不妨令x=1,则y=1,z=,则n=(1,1,),由已知,得=,化简,得h2=a2.则PA=a.3.(2014嘉兴二模)如图,四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ADBC,PA=AB=AD=2BC=2,BAD=,E是棱PD的中点. (1)若=60,求证:AE平面PCD;(2)求的值,使二面角PC
5、DA最小.(1)证明:当=60时,ADBC,AB=AD=2BC=2.CDAD.又PA平面ABCD,PACD.CD平面PAD.又AE平面PAD,CDAE.又PA=AD,E是棱PD的中点,PDAE.AE平面PCD. (2)解:法一如图,建立空间直角坐标系Axyz, 则P(0,0,2),B(2sin ,2cos ,0), C(2sin ,2cos +1,0),D(0,2,0).=(0,-2,2),=(2sin ,2cos -1,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则则取y=1,得n=(,1,1).又易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1).设二面角PCDA的平面角为,则cos =,要
6、使最小,则cos 最大,即=0,cos =,又(0,180),得=60.法二过点A作AECD于E,则CDPE(图略).PEA为二面角PCDA的平面角.tanPEA=,要使二面角PCDA最小只需AE最大,又AD=2故AE最大为2.此时D、E重合,即ADDC,=60.4.(2014浙江温州适应性测试)如图所示,已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面,且PA=AB=AC. (1)求证:PA平面QBC;(2)若PQ平面QBC,求二面角QPBA的余弦值.(1)证明:过点Q作QDBC于点D,平面QBC平面ABC,BC为交线,QD平面QBC,QD平面ABC.又PA平面ABC,QDPA.又QD平面
7、QBC,PA平面QBC,PA平面QBC.(2)解:法一PQ平面QBC,PQB=PQC=90,PA=AB=AC,PA平面ABC,PB=PC,PQ=PQ,PQBPQC,BQ=CQ.点D是BC的中点,连接AD,则ADBC,又平面QBC平面ABC.平面QBC平面ABC=BC,AD平面QBC,PQAD,ADQD.四边形PADQ是矩形.分别以AC,AB,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA=2a,则Q(a,a,2a),B(0,2a,0),P(0,0,2a),设平面QPB的法向量为n=(x,y,z),=(a,a,0),=(0,2a,-2a),取x=1,可得n=(1,-1,-1).又平面PAB
8、的法向量为m=(1,0,0)设二面角QPBA为,则cos=.又m,n都指向二面角内,故二面角与互补.cos =-.法二PQ平面QBC,PQB=PQC=90,又由AB=AC,PA平面ABC,得PB=PC,又PQ=PQ.PQBPQC,BQ=CQ.点D是BC的中点,连接AD, 则ADBC,又平面QBC平面ABC,AD平面QBC.PQAD,ADQD.四边形PADQ是矩形.设PA=2a,PQ=AD=a,PB=2a,BQ=a.过Q作QRPB于点R,QR=a,PR=a.取PB中点M,连接AM,取PA的中点N,连接RN.PR=PB=PM,PN=PA,MARN.PA=AB,AMPB.RNPB.QRN为二面角QPBA的平面角,连接QN,则QN=a,又RN=AM=PB=a,cosQRN=-.即二面角QPBA的余弦值为-.
