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1、3.1 变化率与导数、导数的计算,第三编 导数及其应用,要点梳理 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ， 若x=x2-x1,y=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为 .,基础知识 自主学习,2.函数y=f（x）在x=x0处的导数 （1）定义 称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f（x0）或y|x=x0， 即f(x0)= = . （2）几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点 处的 .相应地，切线方程为 .,(x0,f(x0),切线的斜率,
2、y-y0=f(x0)(x-x0),3.函数f(x)的导函数 称函数f(x)= 为f（x）的导函 数，导函数有时也记作y. 4.基本初等函数的导数公式,cos x,0,-sin x,axln a(a0),nxn-1,ex,5.导数运算法则 （1）f（x）g(x)= ; (2)f(x)g(x)= ; (3) = (g(x)0). 6.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的 导数间的关系为y = ，即y对x的 导数等于 的导数与 的导数的乘积.,(a0,且a1),f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),yu,y对u,u对x,x,u,x,基础自测
3、 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点 （1+x，2+y），则 为 （ ） A.x+ +2 B.x- -2 C.x+2 D.2+x- 解析 y=（1+x）2+1-12-1=(x)2+2x, =x+2.,C,2.设正弦函数y=sin x在x=0和x= 附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 （ ） A.k1k2 B.k1k2 C.k1=k2 D.不确定 解析 y=sin x,y=(sin x)=cos x, k1=cos 0=1，k2=cos =0，k1k2.,A,3.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为 （ ） A.y=3x-4 B.y=-
4、3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 解析 由y=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.,B,4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)-f(x)恒成立，且常数a,b满足ab,则下列不等式一定成立的是 （ ） A.af(b)bf(a) B.af(a)bf(b) C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a) 解析 令g(x)=xf(x),g(x)=xf(x)+f(x)0. g(x)在R上为增函数，ab, g（a)g(b),即af(a)bf(b).,B,5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切
5、线倾斜角的取值范围是0， ，则点P横坐标的取值范围为 （ ） A. B.-1，0 C.0，1 D. 解析 y=x2+2x+3，y=2x+2. 曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是 0, , 曲线在点P处的切线斜率0k1. 02x0+21,-1x0 .,A,题型一 利用导数的定义求函数的导数 【例1】求函数y= 在x0到x0+x之间的平均变化 率. 紧扣定义 进行 计算. 解,思维启迪,题型分类 深度剖析,探究提高 求函数 f（x）平均变化率的步骤： 求函数值的增量f = f（x2）- f（x1）； 计算平均变化率 解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简 单，只要注意运算过程就
6、可以了.,知能迁移1 利用导数定义，求函数 在x=1处 的导数. 解 方法一 （导数定义法）,方法二 （导函数的函数值法）,题型二 导数的运算 【例2】求下列函数的导数. （1）y=2x3+x-6； （2）y= ； （3）y=(x+1)(x+2)(x+3)； （4）y=-sin (1-2cos2 ）； （5） . 如式子能化简的，可先化简，再利用导数公式和运算法则求导.,思维启迪,解 （1）y=6x2+1.,(3)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6， y=3x2+12x+11.,方法二 y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3) =(x
7、+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.,求函数的导数要准确地把函数分割为基本 函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法 则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的 结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式. 对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如 （3）小题;对于比较复杂的函数，如果直接套用求导 法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可 将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，如（2）、（
8、4）、（5）都是如此.但 必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.,探究提高,知能迁移2 求下列函数的导数. （1）y=5x2-4x+1；(2)y=(2x2-1)(3x+1)； （3）y= . 解 (1)y=(5x2-4x+1) =(5x2)-(4x)+(1)=10x-4. (2)y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, y=(6x3+2x2-3x-1) =(6x3)+2(x2)-(3x)-(1) =18x2+4x-3.,【例3】求下列复合函数的导数. (1)y=(2x-3)5; (2)y= ; (3)y=sin2（2x+ ）; (4)y=ln(2x+5).,思维启迪 先
9、正确地分析函数是由哪些基本函数经过 怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意 要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆. 解 (1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3 复合而成, y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42 =10u4=10(2x-3)4. （2）设u=3-x, 则y= 由y=u 与u=3-x复合而成.,由复合函数的定义可知，中间变量的选择 应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析 函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内， 一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基 本函数，逐步确定复合过程.,探究提高,(3)设y
10、=u2,u=sin v,v=2x+ , （4）设y=ln u,u=2x+5,则,知能迁移3 求下列复合函数的导数. (1)y= ; (2)y=x ; (3) 解 (1)y=-3(1-3x)-4(1-3x)= .,题型三 导数的几何意义 【例4】 （12分）已知曲线方程为y=x2, （1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程； （2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程. （1）A在曲线上,即求在A点的切线方程. （2）B不在曲线上，设出切点求切线方程. 解 （1）A在曲线y=x2上, 过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切点. 2分 由y=x2,得y=2x,y|x=2=4, 4
11、分 因此所求直线的方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 6分,思维启迪,（2）方法一 设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线 方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 8分 y=kx+5-3k, y=x2 得x2-kx+3k-5=0,=k2-4(3k-5)=0. 整理得:(k-2)(k-10)=0,k=2或k=10. 10分 所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分 方法二 设切点P的坐标为(x0,y0), 由y=x2得y=2x, x=x0=2x0, 8分 由已知kPA=2x0,即 =2x0. 又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5, 1
12、0分 切点坐标为(1,1),(5,25), 所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分,由,探究提高 （1）解决此类问题一定要分清“在某点 处的切线”，还是“过某点的切线”的问法. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点 坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f(x0), 写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某 点”为切点. （3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当 曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且 只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.,知能迁移4 已知曲线 . (1)求曲线在x=2处的切线方程； (2)求曲线过点（2，4
13、）的切线方程. 解 （1）y=x2, 在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4. 曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.,（2）设曲线 与过点P（2，4）的切线 相切于点 ， 则切线的斜率k=y|x=x = . 切线方程为y- 即,0,点P（2，4）在切线上，4= 即 (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.,方法与技巧 1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0)是函数
14、值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)=0. 2.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.,思想方法 感悟提高,3.复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法 则，将问题转化为基本函数的导数解决. （1）分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； （2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系； （3）根据基本函数的导数
15、公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； （4）复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.,失误与防范 1.利用导数定义求导数时，要注意到x与x的区别，这里的x是常量，x是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆. 3.求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切 线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者. 4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.,一、选择题 1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位 移为 ，那么速度为零的时刻是 （ ） A.0秒 B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末 解析 v=s（t）=t2-3t+2， 令v=0，得t1=1,t2=2.,D,定时检测,2.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ） A.1 B. C.
