《2018届高考数学第一轮总复习经典实用 9空间直线与平面（a）学案课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学第一轮总复习经典实用 9空间直线与平面（a）学案课件（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基础知识 一、直线和平面的位置关系 一条直线a和平面的位置关系有且只有三种： 1直线在平面内有 个公共点，记作 ； 2直线和平面相交有 公共点，记作 ； 3直线和平面平行没有公共点，记作 .,无数,a,且只有一个,aA,a,二、直线与平面平行的判定和性质 1直线和平面平行的判定 直线和平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定定理，此外还用到其它特殊位置关系的性质定理 (定义)如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行 (判定定理)如果 一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行用符号语言表示，即 .,平面外,a，b，ab，则a,如果平面外的两条平行直线中有
2、一条和这个平面平行，那么另一条也和这个平面平行 如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平面，那么这条直线平行于这个平面,2直线和平面平行的性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面 ，那么这条直线和 平行用符号语言表示为： .,a，a，b，则ab,相交,交线,三、直线与平面垂直的判定和性质 1直线和平面垂直的判定 (定义)如果一条直线和平面内 垂直，那么这条直线和这个平面垂直 (判定定理1)如果一条直线和一个平面内的 垂直，那么这条直线垂直于这个平面用符号语言表示为： . (判定定理2)如果两条平行
3、直线中的一条 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面用符号语言表示为： .,所有直线都,两条,相交直线都,a，b，abO，la，,lb，则l,垂直于,ab，a，则b,(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面用符号语言表示为： . (两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直用符号语言表示为： . 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面用符号语言表示为： .,，b，,ab，则a,，a，则a,，a，则a,如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面用
4、符号语言表示为： .,则a,ac，bc，a、b、c交于一点A，b，c，,ab，,2直线与平面垂直的性质 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行用符号语言表示为： . 3斜线在平面内的射影 过一点向平面引垂线， 叫做这点在这个平面内的射影从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过 的直线叫做斜线在这个平面内的射影 射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：,a，b，则ab,垂足,垂足和斜足,(1)射影相等的两条斜线段 ，射影较长的斜线段 ； (2)相等的斜线段的射影 ，较长的斜线段的射影 ； (3)垂线段比 都短,相等,也较长,相等,也较长,任何一条斜线段,4三垂线定理 三
5、垂线定理：在平面内的一条直线，如果 ，那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果 ，那么它也和这条斜线的射影垂直,和这个,平面的一条斜线的射影垂直,和这个平面的一条斜线垂直,5“三余弦”定理 如图所示，AB和平面M所成的角是，AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是，设BAC，则、满足关系为coscoscos.这就叫做“三余弦”定理(别名：爪子定理) 注意定理中的条件是“从一定点出发的三条射线组成的三个面中有两个面相互垂直”,易错知识 一、性质理解错误 1如果、是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是 ( ) A、都平行于直线l、m B内有三个不
6、共线的点到的距离相等 Cl、m是内的两条直线且l，m Dl、m是两条异面直线且l，m，l，m,解题思路：对于A，l和m应相交；对于B，应考虑三个点在的同侧或异侧两种情况；对于C，l和m应相交故选D. 失分警示：对于A，实际上是面面平行的判定定理，但直线必须相交；对于B，只考虑三点在同侧而没有考虑异侧；对于C易丢l和m相交这一条件 答案：D,二、对线面垂直的定义、定理或性质理解不透 2一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这个平面内的无数条直线的位置关系是_ 答案：平行或相交 三、三垂线定理应用错误 3斜线上任意一点在平面上的射影，一定在_ 答案：斜线的射影上 4已知在四面体ABCD中，ABC
7、D，ACBD，则AD与BC的关系是_ 答案：垂直,回归教材 1若直线a在平面外，则有 ( ) Aa Ba与有且仅有一个交点 Ca与平行 Da与的交点至多有一个 解析：直线在平面外包括两种情况：直线与平面平行，直线与平面相交，因此可排除A、B、C，选D. 答案：D,2(教材改编题)两条直线a、b满足ab，b，则a与平面的关系是 ( ) Aa Ba与相交 Ca或a Da 解析：ab，b，则a与的关系有两种：a，a，故C正确 答案：C,3(2009北京丰台一模)已知直线m平面，直线n平面，“直线cm，直线cn”是“直线c平面”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分
8、也不必要条件,解析：若“直线c平面”，则直线c垂直于平面内的所有直线，而m平面，直线n平面，所以“直线cm，直线cn”必要性成立若直线m平面，直线n平面，“直线cm，直线cn”当mn时，直线c与平面不一定垂直，充分性不成立 答案：B,4设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ( ) A若ab，a，则b B若，a，则a C若，a，则a D若ab，a，b，则 解析：易知A、B、C不正确，D正确 答案：D,5在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(填上你认为正确的一个条件即可) 解析：要使A1CB1D1，只要B1D1垂直于A
9、1C在面A1B1C1D1上的射影A1C1即可 答案：ACBD(答案不唯一),【例1】 (2009天津)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD. (1)证明PA平面BDE； (2)证明AC平面PBD.,命题意图 本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力 解析 (1)证明：设ACBDH，连结EH.在ADC中，因为ADCD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点又由题设，E为PC的中点，故EHPA.又EH平面BDE且PA平面BDE，所以PA平面BDE.,(2)证明：因为PD平面ABCD，A
10、C平面ABCD，所以PDAC.由(1)可得，DBAC.又PDDBD， 故AC平面PBD.,如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC. (1)求证OD平面PAB； (2)求直线OD与平面PBC所成角的大小 命题意图本题主要考查空间线面关系与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力,解析(1)O、D分别为AC、PC的中点， ODPA. 又PA平面PAB， OD平面PAB.,(2)ABBC，OAOC， OAOBOC， 又OP平面ABC， PAPBPC. 取BC中点E，连结PE，则BC平面POE. 从而平面PBC平面POE. 作OFPE
11、于F，连结DF，则OF平面PBC， ODF是OD与平面PBC所成的角,在RtODF中，,【例2】 RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点 (1)求证：SD平面ABC. (2)若ABBC.求证：BD平面SAC.,解析 证线面垂直的方法有： 利用定义，即证直线垂直于平面内任一直线 利用线面垂直的判定定理，它是判定线面垂直的最常用思路 利用线面垂直的性质，即两平行线之一垂直平面，则另一条线必垂直于该平面 利用面面垂直的性质定理，即两平面互相垂直，在一个面内垂直交线的直线垂直于另一平面,用面面平行的性质，即一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面 用面面垂直的性质，即两相
12、交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面,证明 (1)取AB中点E，连结SE，DE，在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DEBC，且DEAB， SASB，SAB为等腰三角形， SEAB，DEAB，SEDEE， AB面SDE. 而SD面SDE，ABSD. 在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC. SDAC，SDAB，ACABA，SD平面ABC.,(2)若ABBC，则BDAC， 由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD. SDBD，BDAC，SDACD，BD平面SAC.,如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，A1A D是A1B
13、1的中点 (1)求证：C1D平面ABB1A1； (2)在BB1上找一点F，使AB1平面C1DF，并说明理由,解析：(1)证明：ABCA1B1C1是直三棱柱， AA1平面A1B1C1. 又C1D平面A1B1C1，C1DA1A， 又A1C1B1C1ACBC1， D是A1B1的中点，C1DA1B1， 又A1AA1B1A1， C1D平面ABB1A1.,(2)作DEAB1于E，廷长DE交BB1于F， 连结C1F，则AB1平面C1DF， 因为AB1DF，AB1C1D， DFC1DD，所以AB1平面C1DF.,【例3】 已知：正方体ABCDA1B1C1D1(如图) (1)求证：B1DBC1； (2)求证：B
14、1D面ACD1； (3)若B1D与面ACD1交于O，求证：DOOB11：2.,证明 (1)ABCDA1B1C1D1为正方体， DC面BCC1B1，B1D在面BCC1B1内的射影为B1C. BCC1B1为正方形，BC1B1C. BC1B1D，即B1DBC1.(三垂线定理) (2)(1)中证明了体对角线B1D与面对角线BC1垂直， 同理可证：B1DAD1，B1DAC.B1D平面ACD1.,(3)设AC与BD的交点为O， 则平面BB1D1D与平面ACD1的交线为OD1， 则OD1B1DO， BDB1D1，OODOD1B1， DOOB11：2.,反思归纳 三垂线定理及其逆定理要注意：一定平面；二定垂线；三找斜线，射影即现主要用来证明线线垂直,如图所示，ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60. (1)求证：BD平面ADC； (2)若H为ABC的垂心， 求证：H是D在平面ABC内的射影； (3)若M，N分别是ABD与BCD的重心， 求证：MN面A
