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1、第二十八讲等差数列,回归课本,1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1-an=d(nN*).,(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,其中,2.等差数列的通项公式及前n项和公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d;前n项和公式为Sn= 或,3.等差数列的性质 (1)等差数列的通项是关于自然数n的一次函数(d0
2、).(n,an)是直线上的一群孤立的点,an=an+b(a、b是常数)是an成等差数列的充要条件. (2)等差数列an的首项是a1,公差为d.若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn,则 当d0时它表示二次函数,数列an的前n项和Sn=An2+Bn是an成等差数列的充要条件.,(3)等差数列的增减性,d0时为递增数列,且当a10时前n项和Sn有最大值.,4.与等差数列有关的结论 (1)若数列an和bn是等差数列,则man+kbn仍为等差数列,其中m,k为常数. (2)等差数列中依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列,且公差为k2d(d是原数列公差). (3)项数
3、为偶数2n的等差数列an,有 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an与an+1为中间的两项); S偶-S奇=nd;,(4)项数为奇数2n-1的等差数列an,有 S2n-1=(2n-1)an(an为中间项);S奇-S偶=an; S奇S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.,5.与等差数列有关的规律 (1)等差数列an中,若an=m,am=n(mn),则am+n=0. (2)等差数列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n). (3)等差数列an中,若Sn=Sm(mn),则Sm+n=0. (4)若an与bn均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Sn,则,6
4、.等差数列的判定方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)an是等差数列. (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列. (3)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列.,考点陪练,1.设an是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列an前8项的和为( ) A.128 B.80 C.64 D.56,答案:C,2.(2010山东烟台高三诊断)在等差数列an中,若前5项和S5=20,则a3等于( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析:S5=a1+a2+a3+a4+a5=5
5、a3=20.a3=4. 答案:A,3.(2010辽宁大连高三一模)在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9- a11的值为( ) A.14 B.15 C.16 D.17,答案:C,4.在数列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*),则a1000等于( ) A.5 B.-5 C.1 D.-1 解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4, 由此可得a1000=-1.,解法二:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(nN*),两式相加可得an+3=-an,a
6、n+6=an, a1000=a1666+4=a4=-a1=-1. 答案:D,答案:C,类型一 等差数列的判断与证明 解题准备:证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种: (1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(nN*); (2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(nN*). 注意:在选择方法时,要根据题目的特点,如果能够求出数列的通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.,【典例1】已知数列an的通项公式an=pn2+qn(p、qR,且p、q为常数). (1)当p和q满足什么条件时,数列an是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列an+1-
7、an是等差数列. 解(1)an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使an是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0. 故当p=0时,数列an是等差数列.,(2)证明:an+1-an=2pn+p+q, an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, 而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数. an+1-an是等差数列.,类型二 等差数列的基本量运算 解题准备:等差数列an中,a1和d是两个基本量,用它们可以表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前n项和公式,列方程组解a1和d,是解决等差数列问
8、题的常用方法; 由a1,d,n,an,Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用恰当的公式,利用方程组观点求解.,【典例2】已知等差数列an中,a2=8,前10项和S10=185. (1)求数列an的通项公式an; (2)若从数列an中依次取出第2,4,8,2n,项,按原来的顺序排成一个新的数列,试求新数列的前n项和An.,(2)An=a2+a4+a8+a2n =(32+2)+(34+2)+(38+2)+(32n+2) =3(2+4+8+2n)+2n =3 +2n=32n+1+2n-6. 反思感悟先求出数列的通项公式,然后用通项公式表示出新数列中的各项,再求和.,类型三 等差数列的性质及应
9、用 解题准备:若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的是公差为k2d的等差数列,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应注意运用.,【典例3】在等差数列中,Sn表示an的前n项和, (1)a3+a17=10,求S19的值; (2)a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=210,求项数n; (3)S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值.,(3)S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=1,S8-S4=3. 新的数列前5项分
10、别为1,3,5,7,9. S20-S16=a17+a18+a19+a20=9.,类型四 等差数列前n项和的最值问题 解题准备:求等差数列前n项和Sn的最值问题,主要有以下方法:二次函数法:将Sn看作关于n的二次函数,运用配方法,借助函数的单调性及数形结合,使问题得解; 通项公式法:求使an0(或an0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最小)值;,不等式法:借助Sn最大时,有 解此不 等式组确定n的范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值).,【典例4】已知数列an满足2an+1=an+an+2(nN*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72. 若bn= an-30,求数列bn
11、的前n项和的最小值. 分析先判断an是等差数列,求an,再求bn,由bn的通项研究数列bn的前n项和的最值.,解2an+1=an+an+2, an是等差数列, 设an的首项为a1,公差为d, 由a3=10,S6=72,得,反思感悟除上面方法外,还可将an的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数问题,利用二次函数的图象或配方法求解.,错源一 忽略数列项数 【典例1】已知数列an的前n项和Sn=10n-n2(nN+),求数列|an|的前n项和Tn. 错解当n=1时,a1=S1=9; 当n2时,an=Sn-Sn-1=11-2n. 由于n=1时,a1=9也满足an=11-2n, 因此an=11-2
12、n. 由11-2n0,得,即从第6项开始数列各项为负,那么 Tn=|a1|+|a2|+|an| =-(a1+a2+an)+2(a1+a2+a5) =-Sn+2S5=n2-10n+2(105-52) =n2-10n+50. 剖析错解中忽视了“项数”,默认了n5,事实上,n完全可以小于或等于5.显然,当n5时,结论就是错的.,正解对n进行分类: (1)由上述可知an=11-2n. 当n5时,同上述错解,得Tn=n2-10n+50; (2)当n5时, Tn=|a1|+|a2|+|an| =a1+a2+an=10n-n2.,错源二 忽略为零的项 【典例2】在等差数列an中,已知a1=10,前n项和为S
13、n,且S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.,剖析这是一个首项为正的递减的等差数列,零是这个数列的项吗?由于a1=10,d= ,得10+(13-1) 也就是说零是这个数列的第13项,于是答案就出错了.,正解由于a1=100,d= 即数列an是一个首项为正的递减的等差数列,又由于a13=0,由上述解法可知,该数列的前12或13项的和最大,其值为65.,错源三 对数列的有关概念理解有误 【典例3】已知数列an是递增数列,且对于任意的nN+,an=n2+n恒成立,则实数的取值范围是_.,错解因为an=n2+n是关于n的二次函数,且n1,所以 1,解得-2. 剖析数列是以正整数N+
14、(或它的有限子集1,2,)为定义域的函数,因此它的图象只是一些孤立的点,满足条件的此数列的点分布如图.,正解解法一:由图分析得, ,所以-3. 解法二:由an是递增数列,得an-(2n+1). 而-(2n+1)-3,所以-3. 答案(-3,+),技法一 活用变式,出奇制胜 【典例1】已知等差数列an中,ap=q,aq=p(qp),求ap+q. 解题切入点由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得变式:an=am+(n-m)d或 (nm),利用此变式可快速求解.,解解法一:由变式得:q=p+(p-q)d, 所以d=-1. 所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0. 解法二:由变式得: 所以 所以ap+q=0.,解法三:因为an=a1+(n-1)d,所以点(n,an)在一条直线上.,不妨设pq时,同理可得ap+q=0.,方法与技巧在解题时,巧妙地利用等差数列的变式,常常能出奇制胜,达到简捷明快的目的.,技法二 设而不求,化繁为简 【典例2】在等差数列an中,Sm=Sn(mn),求Sm+n.,方法与技巧在解有关等差数列习题时,设出其基本量a1,d,利用设而不求,整体代入能使题目避繁就简.,
