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1、,第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.,1直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 定义法 利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线和此平面垂直,相交,(2)直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线 垂直于同一直线的两平面 2斜线和平面所成的角 斜线和 所成的锐角,任意,平行,它在平面内的射影,3平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理：一个平面过另一个平面的 ，
2、则这两个平面垂直 (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线垂直于另一个平面,一条垂线,交线,4二面角的平面角 从二面角的棱上一点，在两个半平面内分别作与棱 的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角,垂直,1设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,解析：当l时，lm且ln.但当lm，ln时，若m、n不是相交直线，则得不到l. 答案：A,2已知两条直线m，n，两个平面，给出下面四个命题： mn，mn ，m，nmn mn，mn ，mn，mn 其中正确命题的序号是(
3、),A B C D 解析：由线面垂直的性质知正确；由面面平行的定义知，m、n可能平行，也可能异面，所以错误；对于中n也可能n，正确 答案：D,3设平面，且l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，则a与b( ) A可能垂直，不可能平行 B可能平行，不可能垂直 C可能垂直，也可能平行 D不可能垂直，也不可能平行,解析：当al，bl时，ab. 假设ab，如右图：过a上一点作cl，则c. bc.b.bl，与已知矛盾 答案：B,4三棱锥PABC的顶点P在底面的射影为O，若PAPBPC，则点O为ABC的_心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为ABC的_心 解析：当PAPBPC时，OAOBOC，
4、O为外心当PA、PB、PC两两垂直时， AOBC，BOAC，COAB. O为垂心 答案：外 垂,5m、n是空间两条不同的直线，、是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是_ m，n，mn. mn，mn. mn，mn. m，mn，n.,答案：,热点之一 直线与平面垂直的判定与性质 证明直线和平面垂直的常用方法有 1利用判定定理 2利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab) 3利用面面平行的性质(a，a),4利用面面垂直的性质 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直,思路探究 要证BD平面PAC，只需在平面PAC内寻求两相交直线与BD垂直，而PA显然与BD垂直，
5、故只需证BDAC. 课堂记录 设AC与BD交于点E. PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.,ABD30，BAC60， AEB90，即BDAC. 又PAACA，BD平面PAC.,即时训练 如右图所示，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F. 求证：(1)BC平面PAB； (2)AE平面PBC； (3)PCEF. 证明：(1)PA平面ABC， BC平面ABC，PABC.,ABBC，ABPAA，BC平面PAB. (2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE. PBAE，BCPBB，AE平面PBC. (3)AE平面PBC，PC平面PBC，AEPC，
6、 AFPC，AEAFA， PC平面AEF. 而EF平面AEF，PCEF.,热点之二 平面与平面垂直的判定与性质 1判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90) (2)面面垂直的判定定理(a，a) 2关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆,注意：在求平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本章内容的显著特征掌握转化思想方法是解决这类问题的关键,例2 (2010苏北四市调研)如右图，在三棱柱ABCA1B1C1中，
7、ABBC，BCBC1，ABBC1，E、F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点，求证： (1)平面ABC平面ABC1； (2)FG平面AB1C1.,思路探究 (1)由面面垂直判定定理易证； (2)先证FGAC1，再证明BCB1C1，B1C1BE，B1C1平面ABC1可得FGB1C1，则结论得证 课堂记录 (1)ABBC，BCBC1，ABBC1B， BC平面ABC1， 又BC平面ABC，平面ABC平面ABC1. (2)在AA1C1中，E、F分别为AC1、A1C1的中点，,EFBG，且EFBG，连接BE， 四边形BEFG为平行四边形， FGEB. ABBC1，E为AC1的中点， BEAC1，
8、则FGAC1.,BCAB，BCBC1，B1C1BC， B1C1AB，B1C1BC1，又ABBC1B， B1C1平面ABC1. BE平面ABC1，B1C1BE，则B1C1FG， AC1B1C1C1， FG平面AB1C1.,即时训练 (2010湛江模拟)如右图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形 (1)求证：DM平面APC； (2)求证：平面ABC平面APC.,证明：(1)M为AB中点，D为PB中点， MDAP， 又MD平面APC， DM平面APC.,(2)PMB为正三角形，且D为PB中点MDPB. 又由(1)知MDAP，APPB. 又已知AP
9、PC，PBPCP，AP平面PBC， APBC，又ACBC，APACA， BC平面APC，BC面ABC，平面ABC平面PAC.,热点之三 线面角与二面角的求法 高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一，有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查 求这两种空间角的步骤： 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)认(指)求 在客观题中，也可用射影法：,例3 在三棱锥PABC中，PC、AC、BC两两垂直，BCPC1，AC2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点 (1)证明：平面GFE平面PCB； (2)求二面角BAPC的正切值 思路探究 (
10、1)利用三角形中位线性质线线线面面面；,(2)利用定义作出二面角BAPC的平面角 课堂记录 (1)证明：G、E、F分别为AP、AB、AC的中点， GFPC，EFBC， 又GF平面PBC， EF平面PBC，,PC平面PBC，BC平面PBC， GF平面PBC，EF平面PBC， 又GFEFF， 平面GFE平面PCB. (2)解：过C作CHAP交AP于点H，连接BH， PC、AC、BC两两垂直，,BC平面APC， BCAP， 又CHBCC， AP平面BHC， APBH， CHB就是二面角BAPC的平面角,即时训练 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中
11、心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于( ),答案：B,高考本节内容主要考查线面、面面垂直的判定和性质，其中线面的垂直是考查的重点，难度以中等为主，高考多以解答题出现，且有多问从能力上看，主要考查学生将空间问题转化为平面几何问题的能力,所以BAC90. 又PA平面ABCDE，ABCD， 所以CDPA，CDAC， 又PA，AC平面PAC，且PAACA， 所以CD平面PAC.又CD平面PCD，,所以平面PCD平面PAC.,1(2010山东高考)在空间，下列命题正确的是( ) A平行直线的平行投影重合 B平行于同一直线的两个平面平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行,解析：A项，平行直线的平行投影也可以是两条平行线；B项，平行于同一直线的两个平面可平行、可相交；C项，垂直于同一平面的两个平面可平行、可相交；D项，正确 答案：D,解：(1)证明：连结EC， 在RtPAE和RtCDE中 PAABCD，AEDE， PECE，即PEC是等腰三角形，,(2)PA平面ABCD，PABC，又ABCD是矩形， ABBC，又APABA. BC平面BAP，BCPB，又由(1)知PC平面BEF， 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角， 在PBC中，PBBC，PBC90， PCB45. 所以平面BEF与平面BAP的夹角为45.,
