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1、第2讲 数列求和及综合应用,要点知识整合,2数列求和的方法技巧 (1)转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并 (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列,(3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和 (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差
2、，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和,3数列的应用题 (1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决 (2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式,热点突破探究,设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Snnann(n1)(n1,2,3，) (1)求证：数列an为等差数列，并写出
3、an关于n的表达式；,【解】 (1)证明：当n2时，anSnSn1nan(n1)an12(n1)，得anan12(n2,3,4，) 所以数列an是以a11为首项，2为公差的等差数列 所以an2n1.,解：(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d， 由于a37，a5a726， 所以a12d7,2a110d26， 解得a13，d2.,【题后拓展】 用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形要值得注意 (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达式,(3)应用等比数列求和公式必须注意公比
4、q1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况进行讨论，这种情况在以前的高考中经常考查,【题后拓展】 常见的证明不等式的方法： (1)作差法(与0比较)；(2)作商法(与1比较)；(3)综合法；(4)分析法；(5)反证法；(6)放缩法 3已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列 (1)求q的值； (2)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项的和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由,(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”； (2)试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%?,【思维升华】 数列的递推应用问题往往是以一
5、定的实际问题作为背景进行命题的，该问题来源于生产实践，解题时先将实际生活模型用数学公式或等量关系式列出，然后得出数列的递推关系式适当的时候也可以利用特殊化思想方法先求得前几项，应用不完全归纳法得出通项后再进行进一步的论证,【方法心得】 解答本题的关键是建立目标函数f(n)，而采用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究数列的单调性，求出f(n)的最小值，结合不等式恒成立，进一步用函数与方程思想分析突破因此，函数不仅可以解决方程、不等式的问题，也可以解决数列的问题，而极端原理的应用也尤为重要,高考动态聚焦,从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点： 1每年高考都会有一道利用数列的递推关系求通项公
6、式及前n项和，或利用数列的前n项和Sn与通项an之间的关系求前n项和的客观题或解答题，客观题难度为低、中档，解答题难度为中、高档 2数列的综合应用是高考的热点，主要考查数列与函数、不等式、解析几何等的综合应用，难度较大,1(2010年高考江西卷)等比数列an中，|a1|1，a5 8a2，a5a2，则an( ) A(2)n1 B(2)n1 C(2)n D(2)n 解析：选A.记数列an的公比为q，由a58a2，得a1q48a1q，即q2.由|a1|1，得a11，当a11时，a516a22，符合题意，故ana1qn1(2)n1.,2(2010年高考山东卷)设an是首项大于零的等比数列，则“a10，所以有a11，所以数列an是递增数列；反之，若数列an是递增数列，则公比q1且a10.所以a1a1q，即a1a2，所以“a1a2”是“数列an是递增数列”的充分必要条件,3(2010年高考浙江卷)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是_,4(2010年高考四川卷)已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4. (1)求数列an的通项公式； (2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn 的前n项和Sn.,
