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1、2.2.2 反证法,2.2直接证明与间接证明,经过证明的结论,一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法,特点:执果索因.,用框图表示分析法,思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数,甲:208个,乙:112个,丙:64个,思考?,A、B、
2、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎,为什么?,分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - - -那么A假且B假;,由A假, 知B真. 这与B假矛盾.,那么假设C没有撒谎不成立;,则C必定是在撒谎.,反证法: 假设命题结论的反面成立,经过正确的推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。,反证法的思维方法: 正难则反,反证法的基本步骤: (1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成-立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结 -论正确,归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。,应用反证法的情形: (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论 (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” -类命题; (4)结论为 “唯一”类命题;,例1:用反证法证明: 如果ab0,那么,例2 已知a0,证明x的方程ax=b有且只有一个根。,例3:证明:圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.,已知:在O中,弦AB、CD相交于P,且AB、CD不全是直径 求证:AB、CD不能互相平分。,A,B,C,D,例4 求证: 是无理数。,作业,